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Integralrechnung: lösung?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:09 Sa 11.03.2006
Autor: mana

Aufgabe
  [mm] \integral \bruch{1}{sin x}dx [/mm]

wir haben gerade eine Diskussion zwischen Bruder und Schwester: wessen Lösung ist denn richtig?

meine Lösung:

sin 2x=2 sinx cos x
sin x= sin x/2 cosx/2
x/2= z

[mm] \integral \bruch{1}{sinz cosz}dz [/mm]

mit cos z erweitern

[mm] \integral \bruch{cosz}{sinz (cosz)^2}dx [/mm]

u=tan z  u´ [mm] =1/(cosz)^2 [/mm]
dx=(cosz)^2du


[mm] \integral \bruch{1}{u (cosz)^2}*(cosz)^2du [/mm]

ln  |tan(z)|+c=  ln  |tan (x/2)|+c


Die Lösung meines Bruders:

erweitern mit sin x/sin x

[mm] \integral \bruch{sin x}{sin^2x}dx= [/mm]

[mm] \integral \bruch{sinx}{1-cos^2x}dx= [/mm]

Substitution: cos(x) =u

                   u´= -sin(x)
                   dx= [mm] \bruch{1}{-sin x}du [/mm]

[mm] \integral \bruch{sin x}{1-u^2} \bruch{1}{-sin x}du [/mm]

[mm] \integral \bruch{1}{u^2-1}du [/mm]

Partialbruchzerlegung:
[mm] \bruch {1}{u^2-1}= \bruch{A}{u+1} [/mm] + [mm] \bruch{B}{u-1} [/mm]


A=1/2
B=1/2

=-1/2 ln |u+1| + 1/2 ln |u-1|+c


welche Lösung ist nun richtig??? hoffe beides



        
Bezug
Integralrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:24 Sa 11.03.2006
Autor: Leopold_Gast

Beides ist richtig. Bei deiner eigenen Herleitung fehlt allerdings in einer Zeile einmal ein Faktor 2.

Bezug
                
Bezug
Integralrechnung: wo ist der Fehler
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:40 Sa 11.03.2006
Autor: mana

hallo,

nach Leopold sind beide Lösungen richtig, aber wenn ich ein Wert für x in beide Lösungen eingebe, kommt nicht das gleiche raus, außerdem kann man bei der 2. Lösung überhaupt keinen Wert eingeben, weil  ln  von negative Zahlen nicht gibt.

Bezug
                        
Bezug
Integralrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:28 Sa 11.03.2006
Autor: Leopold_Gast

Da braucht auch nicht dasselbe herauszukommen, denn Stammfunktionen dürfen sich um eine additive Konstante unterscheiden, was du wohl mit dem [mm]+c[/mm] zum Ausdruck bringen willst. Aber ich glaube, hier kommt sogar dasselbe heraus. Beachte die Betragsstriche. Und natürlich sind alle Rücksubstitutionen durchzuführen.



Bezug
        
Bezug
Integralrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:38 Sa 11.03.2006
Autor: Zwerglein

Hi, mana,

warum hast Du die Frage nochmals gestellt?!
Hier hab' ich's Dir doch schon beantwortet:
https://matheraum.de/read?t=134140

mfG!
Zwerglein

Bezug
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