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| Aufgabe | | Fläche von einem Graph soll durch Begrenzung der X-Achse berechnet werden. Es handelt sich um eine gebrochen rationale Funktion. Das Problem hierbei soll sein, dass genau dort wo eine Integralbegrenzung endet, eine Polstelle ist. |
hallo,
ich schreibe morgen die letzte Matheklausur meines Lebens. Dafür habe ich gelernt. Leider bin ich nicht sehr gut. Unser Lehrer hat uns gesagt was wir lernen sollen. Das was ich nun unter Aufgabe gestellt habe kann ich gar nicht.
Es wäre cool wenn ihr mir erklären könnt wie man sowas rechnet.
Möglichst mit Beispielzahlen, da ich theoretische Erklärungen wie von Wikipedia oder so meistens nicht verstehe (-: Naja ich bin für jede Hilfe dankbar. Ich möchte auf keinen Fall einen Unterkurs.
Mit dem GTR kann ich Flächen normalerweise berechnen. Allerdings weiß ich auch nicht genau was eine Polstelle ist, bzw. wieso das einé Problematik darstellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:12 Mo 09.03.2009 | | Autor: | djmatey |
Hallo 
Nehmen wir mal als Beispiel die Funktion
f(x) = [mm] \bruch{x+1}{x-1}
[/mm]
Du darfst alle RellenZahlen bis auf die 1 einsetzen, denn dann ergibt der Nenner 0, und das Teilen durch 0 ist nicht definiert.
1 ist also eine Definitionslücke, von der es verschiedene Arten gibt (hebbare Def.-Lücken, Polstellen etc.), die auf der Schule normalerweise nicht unterschieden, sondern allesamt "Pole" genannt werden.
Meistens interessiert das Verhalten der Funktion f an den Polstellen, d.h. welche Werte nimmt die Funktion an, wenn man sich (mit x) der Polstelle nähert?
In deinem Fall interessiert das Integral bis zur Polstelle, hier z.B. zwischen 0 und 1, also
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{x+1}{x-1} dx}
[/mm]
Das Problem ist, dass du hier die 1 möglicherweise nicht in die Stammfunktion einsetzen kannst und dann die Werte annähern musst, d.h. statt 1 erst mal a einsetzen, am Ende a gegen 1 konvergieren lassen.
LG djmatey
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Okay danke. Bei der Funktion war es nun sehr einfach die Polstelle zu sehen. Das muss ja in der Klausur nicht unbedingt so sein. Gibt es ein Verfahren, mit dem man Polstellen finden kann? Wenn also eine Definitionslücke da ist, kann ich den Wert nicht so einsetzen und muss mich nähern. Wann merke ich denn wann ich den am nächsten dranliegenden Punkt gefunden habe? Wenn der GTR nicht Error anzeigt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:16 Mo 09.03.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> siehe anfang
> Okay danke. Bei der Funktion war es nun sehr einfach die
> Polstelle zu sehen. Das muss ja in der Klausur nicht
> unbedingt so sein. Gibt es ein Verfahren, mit dem man
> Polstellen finden kann?
Polstellen sind (nicht hebbare) Definitionslücken, also bei gebrochen rationalen Funktionen Nullstellen des Nenners.
Hebbar wäre sie, wenn die Nullstelle des nenners auch eine des Zaählers ist, dann könnte man die rauskürzen:
Bsp:
[mm] f(x)=\bruch{x²-1}{(x-1)(x+2)}
[/mm]
Die Def-Lücke sind erstmal 1 und -2, aber da 1 auch eine Nullstelle des Zählers ist, gilt:
[mm] f(x)=\bruch{x²-1}{(x-1)(x+2)}
[/mm]
[mm] =\bruch{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+2)}
[/mm]
[mm] =\bruch{x+1}{x+2}
[/mm]
Also ist x=1 eine hebbare Def-lücke
> Wenn also eine Definitionslücke da
> ist, kann ich den Wert nicht so einsetzen und muss mich
> nähern. Wann merke ich denn wann ich den am nächsten
> dranliegenden Punkt gefunden habe? Wenn der GTR nicht Error
> anzeigt?
Nein, berechne hier mal den Rechts und linksseitigen Grenzwert für [mm] x\to-2
[/mm]
Das geschieht am sinnvollsten mit den Folgen [mm] 2+\bruch{1}{n} [/mm] und [mm] 2-\bruch{1}{n}, [/mm] wenn [mm] n\to\infty.
[/mm]
Also berechne mal
[mm] \lim_{x\to2^{+}}\bruch{x+1}{x+2}
[/mm]
[mm] =\lim_{n\to\infty}\bruch{\left(2+\bruch{1}{n}\right)+1}{\left(2+\bruch{1}{n}\right)+2}
[/mm]
[mm] =\ldots
[/mm]
Und danach:
[mm] \lim_{x\to2^{-}}\bruch{x+1}{x+2}
[/mm]
[mm] =\lim_{n\to\infty}\bruch{\left(2-\bruch{1}{n}\right)+1}{\left(2-\bruch{1}{n}\right)+2}
[/mm]
[mm] =\ldots
[/mm]
Marius
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kann man das dann nicht einfach wegkürzen, sodass 1/2 über bleibt. Sonst verstehe ich nicht richtig wonach ich das rechnen soll. also soll ich es nach n auflösen? Dann hätte man n= 3/4. Aber man kann ja das ganz auch nicht einfach = 0 setzten oder?
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Hallo Julia,
> grundsatzfragen
> kann man das dann nicht einfach wegkürzen, sodass 1/2 über
> bleibt. ![[schockiert]](/images/smileys/schockiert.gif "[schockiert]")
Das beantworte dir mal selber!
Du kennst doch bestimmt den Spruch: "Aus Summen kürzen nur ..."
Das darfst du im Leben nicht machen!!
> Sonst verstehe ich nicht richtig wonach ich das
> rechnen soll. also soll ich es nach n auflösen?
Was meinst du mit "nach n auflösen"?
> Dann hätte man n= 3/4.
Ja, das erhältst du, wenn du im letzten Bruch in Marius' Antwort n gegen [mm] \infty [/mm] laufen lässt.
Dann geht nämlich das [mm] \frac{1}{n} [/mm] im Zähler und Nenner jeweils gegen 0 und der Gesamtbruch geht gegen [mm] $\frac{(2-0)+1}{(2-0)+2}=\frac{3}{4}$
[/mm]
> Aber man kann ja das ganz auch nicht einfach =
> 0 setzten oder?
Nein, du musst den Grenzübergang [mm] n\to\infty [/mm] machen und dir anschauen, was dabei passiert ...
LG
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:45 Mo 09.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
so kuerzen wie dus gemacht hast ist natuerlich falsch. Aber wenn du sagst, dass ueberall ausser bei x=1 ,auch beliebig nahe an x=1 die Funktion
[mm] f(x)=\bruch{x+1}{x+2} [/mm] ist kannst du sagen, dann kann man die Luecke schliessen durch f(1)=3/4 und dazu kannst du einfach x=1 einsetzen.
Gruss leduart
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| Aufgabe | | Grundsatzfrage und seihe Anfang |
Hmm das verstehe ich alles nicht wirklich. Ich muss doch versuchen 1 möglichst nahe zu kommen. also könnte man je nach Richtung der gesuchten Fläche doch zb. mit 1,1 anfangen und wennn das nicht geht immer weiter nach hinten, bis die Polstelle überwunden ist. Das müsste man jetzt nur rechnerisch irgendwie machen. Gibt es da keine einfach Möglichkeit, dass rechnerisch umzusetzen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:20 Mo 09.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Julia!
Ich kann mich nur Angela's Meinung und Rat anschließen. Jetzt auf dem letzen Drücker mit Gewalt und per Nürnberger Trichter seinen Kopf zu überfordern, bringt m.E. überhaupt nichts!
Von daher muss ich Dir eigentlich davon abraten, meine nachfolgende Antwort zu lesen!
Nun denn ... Du hast Dich dann wohl doch anders entschieden!
In obiger Antwort wird das Integral in den Grenzen von $0_$ bis $1_$ berechnet. Von daher können wir uns auch nur der oberen Grenze linksseitig annähern (also mit Werten kleiner $1_$).
Dafür führt man eine Hilfsvariable ein und führt (mathematisch korrekt) eine Grenzwertbetrachtung durch:
[mm] $$\integral_0^1{\bruch{x+1}{x-1} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{A\rightarrow 1\uparrow}\integral_0^A{\bruch{x+1}{x-1} \ dx} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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okay das habe ich jetzt verstanden. Eine letzte Frage dazu noch: Wenn die Polstelle nicht direkt auf der Begrenzung der Fläche liegt, sondern iregndwo innerhalb dieser Fläche, ist sie dann bedeutend für den Flächeninhalt? Von der Logik her würde ich neine sagen oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:52 Mo 09.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Julia!
Selbstverständlich ist die Polstelle auch wichtig, wenn sie innerhalb des Integrationsintervalles liegt.
Dann muss man das Integral an der Polstelle entsprechend in zwei Teilintervalle unterteilen und diese jeweils separat untersuchen.
Gruß
Loddar
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Woran merke ich das ich eine Polstelle überwunden habe. Also woran merke ich das ich jetzt den nächstmöglichen Wert gefunden habe?
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> Grundsatzfrage
> Woran merke ich das ich eine Polstelle überwunden habe.
Hallo,
Polstellen von gebrochen rationalen Funktionen (geht's um die?) können (!) dort sein, wo der Nenner =0 wird, also an den Stellen, an denen die Funktion nicht definiert ist.
Du integrierst dann von links bis zur Definitionslücke, und von der Definitionslücke bis zur rechten Grenze.
Aber meinst Du, daß sowas im Grundkurs vorkommt? Hattet Ihr uneigentliche Integrale? Eher nicht, denke ich.
Gruß v. Angela
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