Isolierte Singularitäten < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:05 Mi 30.09.2015 | | Autor: | Pia90 |
Hallo zusammen,
ich bin gerade bei dem Thema isolierte Singularitäten angelangt, wobei ich bei der Klassifikation allerdings noch sehr unsicher bin.
Habe daher versucht mir Beispiele anzugucken, wobei ich folgendes (noch) nicht verstehe. Und zwar geht es um die Funktion [mm] f(z)=\bruch{sin(z)}{z}. [/mm] Die Funktion ist ja auf [mm] \IC^{\*} [/mm] holomorph, weshalb sie in 0 eine isolierte Singularität besitzt.
Die Klassifikation verstehe ich allerdings noch nicht wirklich. Dort ist angegeben, dass die Singularität hebbar ist mit [mm] f(0)=\limes_{z\rightarrow 0} \bruch{sin(z)}{z} [/mm] = cos(0) =1
Ich verstehe dabei insbesondere schonmal die grün markierte Stelle nicht. Warum ist das plötzlich cos(0)?
Und woher genau weiß ich, dass die isolierte Singularität hebbar ist?
Laut unserer Definition ist eine isolierte Singularität a hebbar, wenn es eine punktierte Umgebung V von a gibt, sodass f eingeschränkt auf V beschränkt ist.
Ich hoffe meine Frage ist nicht allzu dämlich und es kann mir jemand weiterhelfen...
Viele Grüße und vielen Dank im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:31 Mi 30.09.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen,
>
> ich bin gerade bei dem Thema isolierte Singularitäten
> angelangt, wobei ich bei der Klassifikation allerdings noch
> sehr unsicher bin.
>
> Habe daher versucht mir Beispiele anzugucken, wobei ich
> folgendes (noch) nicht verstehe. Und zwar geht es um die
> Funktion [mm]f(z)=\bruch{sin(z)}{z}.[/mm] Die Funktion ist ja auf
> [mm]\IC^{\*}[/mm] holomorph, weshalb sie in 0 eine isolierte
> Singularität besitzt.
So ist es.
> Die Klassifikation verstehe ich allerdings noch nicht
> wirklich. Dort ist angegeben, dass die Singularität hebbar
> ist mit [mm]f(0)=\limes_{z\rightarrow 0} \bruch{sin(z)}{z}[/mm] =
> cos(0) =1
>
> Ich verstehe dabei insbesondere schonmal die grün
> markierte Stelle nicht. Warum ist das plötzlich cos(0)?
Da hat der Urheber der Lösung der Lösung de l'Hospital angewandt. Im komplexen ist das allerdings Unfug.
Die Gründe dafür sind im Moment nicht wichtig.
>
> Und woher genau weiß ich, dass die isolierte Singularität
> hebbar ist?
>
> Laut unserer Definition ist eine isolierte Singularität a
> hebbar, wenn es eine punktierte Umgebung V von a gibt,
> sodass f eingeschränkt auf V beschränkt ist.
Ja, das ist der Riemannsche Hebbarkeitssatz.
Die Def. ist aber die folgende:
Sei a [mm] \in \IC [/mm] und $ f:D [mm] \setminus \{a\} \to \IC$ [/mm] holomorph.
a ist eine hebbare Singularität von f
[mm] \gdw [/mm]
es ex. g:D [mm] \to \IC [/mm] holomorph mit f=g auf $D [mm] \setminus \{a\}$
[/mm]
Dass [mm] \limes_{z\rightarrow 0} \bruch{sin(z)}{z}=1 [/mm] ist, sieht man mit der Potenzreihendarstellung von [mm] \sin(z). [/mm] Probier das mal.
Wir haben also [mm] \limes_{z\rightarrow 0}f(z)=1. [/mm] Dann ist auch
[mm] \limes_{z\rightarrow 0}|f(z)|=1.
[/mm]
Folglich gibt es eine punktierte Umgebung V von 0 mit
$|f(z)| [mm] \le [/mm] 2$ für alle $z [mm] \in [/mm] V$.
>
> Ich hoffe meine Frage ist nicht allzu dämlich und es kann
> mir jemand weiterhelfen...
Der Riemannsche Hebbarkeitssatz lautet so: sei a [mm] \in \IC [/mm] und $ f:D [mm] \setminus \{a\} \to \IC$ [/mm] holomorph. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:
(1) a ist eine hebbare Singularität von f.
(2) [mm] \limes_{z\rightarrow a}f(z) [/mm] ex. in [mm] \IC.
[/mm]
(3) es ex. eine punktierte Umgebung von a, auf der f beschränkt ist.
FRED
>
> Viele Grüße und vielen Dank im Voraus!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:38 Mi 30.09.2015 | | Autor: | Chris84 |
> > Hallo zusammen,
Hallo FRED,
> >
> > ich bin gerade bei dem Thema isolierte Singularitäten
> > angelangt, wobei ich bei der Klassifikation allerdings noch
> > sehr unsicher bin.
> >
> > Habe daher versucht mir Beispiele anzugucken, wobei ich
> > folgendes (noch) nicht verstehe. Und zwar geht es um die
> > Funktion [mm]f(z)=\bruch{sin(z)}{z}.[/mm] Die Funktion ist ja auf
> > [mm]\IC^{\*}[/mm] holomorph, weshalb sie in 0 eine isolierte
> > Singularität besitzt.
>
> So ist es.
>
>
> > Die Klassifikation verstehe ich allerdings noch nicht
> > wirklich. Dort ist angegeben, dass die Singularität hebbar
> > ist mit [mm]f(0)=\limes_{z\rightarrow 0} \bruch{sin(z)}{z}[/mm] =
> > cos(0) =1
> >
> > Ich verstehe dabei insbesondere schonmal die grün
> > markierte Stelle nicht. Warum ist das plötzlich cos(0)?
>
>
> Da hat der Urheber der Lösung der Lösung de l'Hospital
> angewandt. Im komplexen ist das allerdings Unfug.
Wieso ist das so? Ich erinnere mich dunkel, dass wir in ner Mathevorlesung/-uebung auch L'Hospital im Komplexen hatten (zumindest wenn Zaehler und Nenner gegen 0 gehen).
Davon mal abgesehen, ist der Kosinus doch nichts anderes als die Ableitung, also
[mm] $\lim_{z\rightarrow 0} \frac{\sin z}{z}=\lim_{z\rightarrow 0} \frac{\sin z-\sin(0)}{z-0}=\frac{d\sin z}{dz}|_{z=0}=\cos(0)$.
[/mm]
Das ist nicht zwangslaeufig als L'Hospital zu sehen, oder irre ich mich?
>
> Die Gründe dafür sind im Moment nicht wichtig.
>
>
> >
> > Und woher genau weiß ich, dass die isolierte Singularität
> > hebbar ist?
> >
> > Laut unserer Definition ist eine isolierte Singularität a
> > hebbar, wenn es eine punktierte Umgebung V von a gibt,
> > sodass f eingeschränkt auf V beschränkt ist.
>
> Ja, das ist der Riemannsche Hebbarkeitssatz.
>
> Die Def. ist aber die folgende:
>
> Sei a [mm]\in \IC[/mm] und [mm]f:D \setminus \{a\} \to \IC[/mm] holomorph.
>
> a ist eine hebbare Singularität von f
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> es ex. g:D [mm]\to \IC[/mm] holomorph mit f=g auf [mm]D \setminus \{a\}[/mm]
>
>
>
> Dass [mm]\limes_{z\rightarrow 0} \bruch{sin(z)}{z}=1[/mm] ist, sieht
> man mit der Potenzreihendarstellung von [mm]\sin(z).[/mm] Probier
> das mal.
>
> Wir haben also [mm]\limes_{z\rightarrow 0}f(z)=1.[/mm] Dann ist
> auch
>
> [mm]\limes_{z\rightarrow 0}|f(z)|=1.[/mm]
>
> Folglich gibt es eine punktierte Umgebung V von 0 mit
>
> [mm]|f(z)| \le 2[/mm] für alle [mm]z \in V[/mm].
> >
> > Ich hoffe meine Frage ist nicht allzu dämlich und es kann
> > mir jemand weiterhelfen...
>
> Der Riemannsche Hebbarkeitssatz lautet so: sei a [mm]\in \IC[/mm]
> und [mm]f:D \setminus \{a\} \to \IC[/mm] holomorph. Dann sind die
> folgenden Aussagen äquivalent:
>
> (1) a ist eine hebbare Singularität von f.
> (2) [mm]\limes_{z\rightarrow a}f(z)[/mm] ex. in [mm]\IC.[/mm]
> (3) es ex. eine punktierte Umgebung von a, auf der f
> beschränkt ist.
>
> FRED
> >
> > Viele Grüße und vielen Dank im Voraus!
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:29 Do 01.10.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo zusammen!
Zunächst: Ich habe bislang noch keine Komplexe Analysis gehört. Meine Aussage hier basiert auf einer kurzen Recherche im Internet.
> > Da hat der Urheber der Lösung der Lösung de l'Hospital
> > angewandt. Im komplexen ist das allerdings Unfug.
>
> Wieso ist das so? Ich erinnere mich dunkel, dass wir in ner
> Mathevorlesung/-uebung auch L'Hospital im Komplexen hatten
> (zumindest wenn Zaehler und Nenner gegen 0 gehen).
Seien [mm] $f,g\colon D\to\IC$ [/mm] holomorphe Funktionen, welche an der Stelle [mm] $z_0\in [/mm] D$ die selbe Nullstellenordnung [mm] $n\$ [/mm] haben.
Dann hat [mm] $f(z)/g(z)\$ [/mm] in [mm] $z_0\$ [/mm] eine hebbare Singularität und es gilt
[mm] \lim_{z\to z_0}\frac{f(z)}{g(z)}=\frac{f^{(n)}(z_0)}{g^{(n)}(z_0)}.
[/mm]
Anwendung:
Wir setzen [mm] $f(z):=\sin(z)\$ [/mm] und [mm] $g(z):=z\$. [/mm] Offensichtlich sind [mm] $f\$ [/mm] und [mm] $g\$ [/mm] holomorph.
Sei [mm] $z_0=0\$. [/mm] Wegen [mm] $f(z_0)=g(z_0)=0\$ [/mm] und [mm] $f'(z_0)=g'(z_0)=1\not=0\$ [/mm] besitzen [mm] $f\$ [/mm] und [mm] $g\$ [/mm] in [mm] $z_0\$ [/mm] die selbe Nullstellenordnung [mm] $n=1\$.
[/mm]
Demnach hat [mm] $f(z)/g(z)\$ [/mm] in [mm] $z_0\$ [/mm] eine hebbare Singularität und es gilt
[mm] $\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)}{g(z)}=\frac{f'(0)}{g'(0)}=\frac{\cos(0)}{1}=1$.
[/mm]
Frage: Habe ich den Begriff "Nullstellenordnung" falsch interpretiert? Wo liegt mein Fehler?
> Davon mal abgesehen, ist der Kosinus doch nichts anderes
> als die Ableitung, also
>
> [mm]\lim_{z\rightarrow 0} \frac{\sin z}{z}=\lim_{z\rightarrow 0} \frac{\sin z-\sin(0)}{z-0}=\frac{d\sin z}{dz}|_{z=0}=\cos(0)[/mm].
>
> Das ist nicht zwangslaeufig als L'Hospital zu sehen, oder irre ich mich?
Das würde mich auch interessieren.
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:36 Do 01.10.2015 | | Autor: | Chris84 |
> Hallo zusammen!
>
>
> Zunächst: Ich habe bislang noch keine Komplexe Analysis
> gehört. Meine Aussage hier basiert auf einer kurzen
> Recherche im Internet.
>
> > > Da hat der Urheber der Lösung der Lösung de l'Hospital
> > > angewandt. Im komplexen ist das allerdings Unfug.
> >
> > Wieso ist das so? Ich erinnere mich dunkel, dass wir in ner
> > Mathevorlesung/-uebung auch L'Hospital im Komplexen hatten
> > (zumindest wenn Zaehler und Nenner gegen 0 gehen).
>
> Seien [mm]f,g\colon D\to\IC[/mm] holomorphe Funktionen, welche an
> der Stelle [mm]z_0\in D[/mm] die selbe Nullstellenordnung [mm]n\[/mm] haben.
> Dann hat [mm]f(z)/g(z)\[/mm] in [mm]z_0\[/mm] eine hebbare Singularität und
> es gilt
>
> [mm]\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)}{g(z)}=\frac{f^{(n)}(z_0)}{g^{(n)}(z_0)}.[/mm]
>
Genau DAS meinte ich ^^
Wir hatten das - glaube ich - auch nicht L'Hospital genannt, aber ist im Prinzip ja sowas wie L'Hospital (fuer "0/0")
>
> Anwendung:
>
> Wir setzen [mm]f(z):=\sin(z)\[/mm] und [mm]g(z):=z\[/mm]. Offensichtlich sind
> [mm]f\[/mm] und [mm]g\[/mm] holomorph.
> Sei [mm]z_0=0\[/mm]. Wegen [mm]f(z_0)=g(z_0)=0\[/mm] und
> [mm]f'(z_0)=g'(z_0)=1\not=0\[/mm] besitzen [mm]f\[/mm] und [mm]g\[/mm] in [mm]z_0\[/mm] die
> selbe Nullstellenordnung [mm]n=1\[/mm].
> Demnach hat [mm]f(z)/g(z)\[/mm] in [mm]z_0\[/mm] eine hebbare Singularität
> und es gilt
>
> [mm]\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)}{g(z)}=\frac{f'(0)}{g'(0)}=\frac{\cos(0)}{1}=1[/mm].
>
> Frage: Habe ich den Begriff "Nullstellenordnung" falsch
> interpretiert? Wo liegt mein Fehler?
>
> > Davon mal abgesehen, ist der Kosinus doch nichts anderes
> > als die Ableitung, also
> >
> > [mm]\lim_{z\rightarrow 0} \frac{\sin z}{z}=\lim_{z\rightarrow 0} \frac{\sin z-\sin(0)}{z-0}=\frac{d\sin z}{dz}|_{z=0}=\cos(0)[/mm].
>
> >
> > Das ist nicht zwangslaeufig als L'Hospital zu sehen, oder
> irre ich mich?
>
> Das würde mich auch interessieren.
Hat sich ja erledigt ^^
>
>
> Gruß
> DieAcht
Gruss,
Chris
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:57 Do 01.10.2015 | | Autor: | fred97 |
@ Chris: Deine Auffassung des Quotienten [mm] \bruch{sin(z)}{z} [/mm] als Differenzenquotient ist eigentlich mein Hobby, an das ich gestern komischerweise nicht dachte.
Dennoch gibt es Leute, die l'Hospital im Komplexen genauso formulieren, wie im Reellen. Dann wird es oft falsch.
@Acht:
das von Dir formulierte
SÄTZCHEN:
"Seien $ [mm] f,g\colon D\to\IC [/mm] $ holomorphe Funktionen, welche an der Stelle $ [mm] z_0\in [/mm] D $ die selbe Nullstellenordnung $ n\ $ haben.
Dann hat $ f(z)/g(z)\ $ in $ [mm] z_0\ [/mm] $ eine hebbare Singularität und es gilt
$ [mm] \lim_{z\to z_0}\frac{f(z)}{g(z)}=\frac{f^{(n)}(z_0)}{g^{(n)}(z_0)}. [/mm] $"
ist durchaus richtig, mit l'Hospital hat das aber nix zu tun. Das Sätzchen ist mehr eine Merkhilfe als ein Satz, denn der "Beweis" ist eine Trivialität:
es gibt holomorphe Funktionen [mm] f_1, g_1 [/mm] mit
[mm] f(z)=(z-z_0)^nf_1(z), [/mm]
[mm] g(z)=(z-z_0)^ng_1(z), [/mm]
[mm] f_1(z_0)=f^{(n)}(z_0) \ne [/mm] 0
und [mm] g_1(z_0)=g^{(n)}(z_0) \ne [/mm] 0 .
Dann folgt [mm] \bruch{f(z)}{g(z)}=\bruch{f_1(z)}{g_1(z)}.
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:27 Do 01.10.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Fred!
> @Acht:
>
> das von Dir formulierte
>
> SÄTZCHEN:
>
> "Seien [mm]f,g\colon D\to\IC[/mm] holomorphe Funktionen, welche an
> der Stelle [mm]z_0\in D[/mm] die selbe Nullstellenordnung [mm]n\[/mm] haben.
> Dann hat [mm]f(z)/g(z)\[/mm] in [mm]z_0\[/mm] eine hebbare Singularität und
> es gilt
>
> [mm]\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)}{g(z)}=\frac{f^{(n)}(z_0)}{g^{(n)}(z_0)}. [/mm]"
>
> ist durchaus richtig, mit l'Hospital hat das aber nix zu
> tun.
Sehr ähnlich steht obiges Sätzchen auch in Wikipedia unter der Regel von L'Hôpital -> "Verallgemeinerungen"; siehe ![[]](/images/popup.gif) hier.
Unter Literatur stehen folgende Einträge:
Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 12. Auflage. Teubner, Stuttgart/Leipzig, 1998.
Eberhard Freitag und Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2000, ISBN 3-540-67641-4.
Ich schaue mal morgen in der Bibliothek vorbei. 
Jedenfalls beinhaltet diese Merkhilfe im Vergleich zum richtigen Satz aus der Analysis nur den Spezialfall [mm] "$0/0\$". [/mm] Außerdem spielt die gemeinsame Nullstellenordnung der Funktionen eine wichtige Rolle. Ist es vielleicht aus diesem Grund in der Komplexen Analysis nicht üblich diese Merkhilfe mit dem Namen L'Hôpital zu versehen?
Wenn man den Begriff der Nullstellenordnung umgehen will, dann kann man noch spezieller werden:
Seien [mm] $f\$ [/mm] und [mm] $g\$ [/mm] analytisch in [mm] $z_0\$. [/mm] Ist [mm] $f(z_0)=g(z_0)=0\$ [/mm] und [mm] $g'(z_0)\not=0\$, [/mm] dann gilt
[mm] \lim_{z\to z_0}\frac{f(z)}{g(z)}=\frac{f'(z_0)}{g'(z_0)}.
[/mm]
Beste Grüße
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:34 Do 08.10.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo zusammen!
Zunächst: Tut mir leid für die verspätete Rückmeldung!
> Sehr ähnlich steht obiges Sätzchen auch in Wikipedia
> unter der Regel von L'Hôpital -> "Verallgemeinerungen";
> siehe
> hier.
>
> Unter Literatur stehen folgende Einträge:
>
> Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 12. Auflage.
> Teubner, Stuttgart/Leipzig, 1998.
> Eberhard Freitag und Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 3.,
> neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag,
> Berlin u. a. 2000, ISBN 3-540-67641-4.
>
> Ich schaue mal morgen in der Bibliothek vorbei.
Im Heuser habe ich keine "Verallgemeinerung von L'Hôpital" oder ähnliches gefunden.
Der Literaturhinweis dient offensichtlich für den oberen Teil des Wikipedia-Artikels.
(Ehrlich gesagt hätte ich mir das sparen können, denn Fred hätte bereits etwas gesagt.  )
Im Lehrbuch von Eberhard Freitag und Rolf Busam habe ich in der 4. Auflage auf Seite 139 folgendes gefunden:
"Man beweise die folgende komplexe Version der DE L'HOSPITALSCHEN Regel:
Seien [mm] $f,g\colon D\to\IC$ [/mm] analytische Funktionen, welche in einem Punkt [mm] $a\in [/mm] D$ dieselbe Ordnung [mm] $k\$ [/mm] haben.
Dann hat $g:=f/g$ in [mm] $a\$ [/mm] eine hebbare Singularität, und es gilt
[mm] $\lim_{z\to a}\frac{f(z)}{g(z)}=\frac{f^{(k)}(a)}{g^{(k)}(a)}$."
[/mm]
Damit bin ich einverstanden, denn es wird nirgendwo das Wort "Verallgemeinerung" benutzt!
Als "Komplexe Version der Regel von (de) L'Hôpital" habe ich es auch schon öfter gesehen.
Zum Glück ist es nur Wikipedia.
Beste Grüße
DieAcht
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> Und zwar geht es um die
> Funktion [mm]f(z)=\bruch{sin(z)}{z}.[/mm] Die Funktion ist ja auf
> [mm]\IC^{\*}[/mm] holomorph, weshalb sie in 0 eine isolierte
> Singularität besitzt.
Daraus, dass eine komplexe Funktion auf [mm]\IC^{\*}[/mm] holomorph
ist, folgt natürlich noch nicht, dass sie in 0 eine
Singularität besitzt. Beispielsweise ist jede "ganze Funktion"
auf [mm]\IC^{\*}[/mm] holomorph (weil sie sogar auf ganz [mm] \IC
[/mm]
holomorph ist).
Dass im vorliegenden Fall trotzdem eine Singularität in 0
vorliegt, liegt daran, dass f(0) nicht definiert ist.
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:41 Fr 02.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> > Und zwar geht es um die
> > Funktion [mm]f(z)=\bruch{sin(z)}{z}.[/mm] Die Funktion ist ja auf
> > [mm]\IC^{\*}[/mm] holomorph, weshalb sie in 0 eine isolierte
> > Singularität besitzt.
>
>
> Daraus, dass eine komplexe Funktion auf [mm]\IC^{\*}[/mm] holomorph
> ist, folgt natürlich noch nicht, dass sie in 0 eine
> Singularität besitzt.
Moin Al,
Dir scheint die Def. nicht geläufig zu sein:
Sei $D [mm] \subseteq \mathbb [/mm] C$ offen, [mm] $z_0 \in [/mm] D$ und$ f:D [mm] \setminus \{z_0\} \to \mathbb [/mm] C$ eine holomorphe Funktion.
Dann heißt [mm] z_0 [/mm] eine isolierte Singularität von f.
Mit der üblichen Klassifizierung isol. Singularitäten (hebbar, Pol, wesentlich) hat man dann z.B.:
Ist $ f:D [mm] \to \mathbb [/mm] C$ eine holomorphe Funktion, so hat $f$ in jedem $z [mm] \in [/mm] D$ eine isolierte Singularität, die hebbar ist.
Klingt (ist), wenn mans zum ersten mal hört (liest), durchaus befremdlich, ist aber so und man gewöhnt sich dran.
Gruß FRED
> Beispielsweise ist jede "ganze
> Funktion"
> auf [mm]\IC^{\*}[/mm] holomorph (weil sie sogar auf ganz [mm]\IC[/mm]
> holomorph ist).
> Dass im vorliegenden Fall trotzdem eine Singularität in 0
> vorliegt, liegt daran, dass f(0) nicht definiert ist.
>
> LG , Al-Chw.
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> > > Und zwar geht es um die
> > > Funktion [mm]f(z)=\bruch{sin(z)}{z}.[/mm] Die Funktion ist ja auf
> > > [mm]\IC^{\*}[/mm] holomorph, weshalb sie in 0 eine isolierte
> > > Singularität besitzt.
> >
> >
> > Daraus, dass eine komplexe Funktion auf [mm]\IC^{\*}[/mm] holomorph
> > ist, folgt natürlich noch nicht, dass sie in 0 eine
> > Singularität besitzt.
>
> Moin Al,
>
> Dir scheint die Def. nicht geläufig zu sein:
>
> Sei [mm]D \subseteq \mathbb C[/mm] offen, [mm]z_0 \in D[/mm] und[mm] f:D \setminus \{z_0\} \to \mathbb C[/mm]
> eine holomorphe Funktion.
> Dann heißt [mm]z_0[/mm] eine isolierte Singularität von f.
>
> Mit der üblichen Klassifizierung isol. Singularitäten
> (hebbar, Pol, wesentlich) hat man dann z.B.:
>
> Ist [mm]f:D \to \mathbb C[/mm] eine holomorphe Funktion, so hat [mm]f[/mm]
> in jedem [mm]z \in D[/mm] eine isolierte Singularität, die hebbar
> ist.
>
> Klingt (ist), wenn mans zum ersten mal hört (liest),
> durchaus befremdlich, ist aber so und man gewöhnt sich
> dran.
>
> Gruß FRED
Naja, das war mir auch klar.
Ich wollte aber doch nur darauf hinweisen, dass es notwendig
ist, nicht nur einen Funktionsterm für f , sondern dazu auch
den Definitionsbereich (hier $\ [mm] D_f\ [/mm] =\ [mm] \IC\,\setminus \{\,0\,\}$ [/mm] ) anzugeben.
Für eine ganze Funktion f mit Definitionsbereich [mm] \IC [/mm] gilt natürlich
ebenfalls, dass sie auf [mm] \IC^{\*} [/mm] holomorph ist. Trotzdem hat
sie in 0 keine Singularität.
In gewisser Weise steht aber das, worüber du mich hier aufklären
wolltest, dem Standpunkt entgegen, den du (vor etlichen Jahren)
in Bezug auf "Unstetigkeitsstellen" (Singularitäten) bei Funktionen
f: [mm] \IR \to \IR [/mm] vertreten hast: Stetigkeit von 1/x bei x=0
Also nochmals gefragt: Ist eine isolierte (punktförmige)
Definitionslücke (ob in [mm] \IR [/mm] oder in [mm] \IC [/mm] ) nun eine Singularität oder nicht ?
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:09 So 25.10.2015 | | Autor: | Pia90 |
Sorry, dass ich jetzt erst schreibe! Habs bisher ein wenig verplant und erst gerade entdeckt, dass ich mich noch gar nicht bedankt habe...
Daher nun etwas spät aber trotzdem von Herzen vielen lieben Dank für eure Anregungen und Hilfen! :)
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