Metrischer Raum < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei ein metrischer Raum (V,d). Es sei [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] V definiert
p(x,y) = [mm] \bruch{d(x,y)}{1+d(x,y)}
[/mm]
Man zeige, dass (V,p) ein metrischer Raum ist. |
Hallo,
ich komme beim Beweis der Dreiecksungleichung für (V,p) nicht weiter:
z.z: p(x,y) [mm] \le [/mm] p(x,z) + p(z,y)
-> p(x,z)+p(y,z) = [mm] \bruch{d(x,z)}{1+d(x,z)}+\bruch{d(z,y)}{1+d(z,y)} [/mm] = [mm] \bruch{d(x,z)+d(z,y)+2d(x,z)d(z,y)}{1+d(z,y)+d(z,x)+d(x,z)d(z,y)} \ge \bruch{d(x,y) + 2d(x,z)d(z,y)}{1+ d(x,y) +d(x,z)d(z,y)}
[/mm]
Zu zeigen bliebe jetzt dass [mm] \bruch{d(x,y) + 2d(x,z)d(z,y)}{1+ d(x,y) +d(x,z)d(z,y)} \ge \bruch{d(x,y)}{1+ d(x,y)}. [/mm] Also in allgemeinerer Form: [mm] \bruch{x+2c}{1+x+c} \ge \bruch{x}{1+x}
[/mm]
Für c = 0 und c [mm] \ge [/mm] 1 ist es klar, aber wie zeige ich das für 0 < c < 1 ? Ich finde einfach keinen Weg dafür. Hat jemand einen Tipp für mich?
Edit: Mir fällt auf, dass die erste Abschätzung eigentlich auch gar nicht zulässig ist, oder doch? Habe ich mich da jetzt völlig verrannt?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:22 Di 23.05.2006 | | Autor: | andreas |
hi
so ein ähnliches problem gab es hier schon mal (das was hier p heißt hieß dort d und das d von hier war dort der übliche betrag - man sollte das aber alles mit den selben argumenten machen können).
grüße
andreas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:15 Di 23.05.2006 | | Autor: | Martin-85 |
Danke für den Hinweis, ich werds mir gleich mal anschauen.
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