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| Aufgabe | Betrachten Sie die Quadrik Q die durch [mm] 2x^2 [/mm] − 2xy + [mm] 2y^2 [/mm] − 2x − 2y + 1 0definiert wird.
a) Zeichnen Sie die Normalform (bzgl.Kongruenz) der Quadrik Q mit Ihren Hauptachsen + ggf. Asymptoten.
b) Zeichnen Sie die zum Ursprung verschobene Quadrik Q mit Ihren Hauptachsen + ggf. Asymptoten.
c) Zeichnen Sie die Quadrik Q mit Ihren Hauptachsen + ggf. Asymptoten. |
Hallo.
Also in der Lösung steht, dass es sich um eine Ellipse handelt, aber wie kommt man da drauf, denn wir haben Ellipsen wie folgt definiert:
[mm] (\bruch{a}{x})^2 [/mm] + [mm] (\bruch{b}{y})^2 [/mm] = 1
kann das aber irgendwie gerade mit der Aufgabe nicht in Verbindung bringen.
Und könnt ihr mir vielleicht helfen, wie ich bei den Aufgaben a-c vorgehen muss?
danke für hilfe.
gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:59 Fr 13.06.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
schreibe als erstes die Quadrik in Matrixform,
wobei du zweckmäßigerweise statt x und y besser [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] verwendest:
[mm] $\vec{x}^T [/mm] * M * [mm] \vec{x} [/mm] + [mm] \vec{b} [/mm] * [mm] \vec{x} [/mm] = -1$
Dann führe eine Eigenwertzerlegung für M durch und ersetze damit
$M = B * D * [mm] B^{-1}$ [/mm] mit einer orthogonalen Matrix B und einer Diagonalmatrix D.
Nun substituiere [mm] $\vec{x} [/mm] = B * [mm] \vec{y}.$
[/mm]
Den Rest schaffst du allein, die noch erforderliche Verschiebung zur Normalform kannst du mit quadratischer Ergänzung machen.
LG
Will
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Hi. Ich habe nochmal eine Frage zu dieser Aufgabenstellung, da ich nicht genau weiß, was und wie ich die Sachen zeichnen soll.
also ich habe dieses mal mal diese Quadrik genommen:
[mm] Q(x,y)=2x^2+2y^2-2xy-2x-2y+1
[/mm]
So diese Quadrik habe ich erst in Matrizenschreibweise geschrieben, d.h.
[mm] Q(x,y)=++1
[/mm]
So dann habe ich estmal das Gleichungssystem [mm] A*v=\bruch{1}{b}*b [/mm] gelöst und bin so auf den Vektor [mm] v=\vektor{-1 \\ -1}, [/mm] um die Quadrik verschieben zu können, so hatten wir das nämlich in einem Beispiel in der Vorlesung auch gemacht. So dann kam für die erste Kongruenzabbildung (Verschiebungsabbildung) folgendes heraus:
[mm] q_1(x)=++1
[/mm]
so insgesamt kam dabei heraus: [mm] q_1(x,y)=-1=2x^2+2y^2-2xy-1.
[/mm]
So die zweite Aufgabe lautet ja: b) Zeichnen Sie die zum Ursprung verschobene Quadrik Q mit Ihren Hauptachsen + ggf. Asymptoten.
Heißt das jetzt, ich muss [mm] q_1(x,y)=2x^2+2y^2-2xy-1 [/mm] zeichnen??? oder versteh ich das jetzt falsch? Wenn ja, macht man das am Besten mit einer Wertetabelle und dann Werte einsetzten oder wie? Und andere frage, wo erkenn ich da jetzt die Hauptachsen und die Asymptoten?
Weiter gehts:
Dann habe ich die Normalform ausgerechnet, indem ich erst von der Matrix A die EW bestimmt habe, die lauten [mm] \lambda_1=1 [/mm] und [mm] \lambda_2=3
[/mm]
Jetzt kann man ja die zweite Kongruenzabbildung (Drehabbildung) angeben, und zwar:
[mm] q_2(x,y)=-1=x^2+3y^2-1
[/mm]
1) x=0 [mm] \Rightarrow 3y^2-1=0 \gdw y=\pm\wurzel{\bruch{1}{3}}
[/mm]
2) y=0 [mm] \Rightarrow x^2-1=0 \gdw x=\pm1
[/mm]
[mm] \Rightarrow q_2(x,y)=x^2+(\bruch{y}{\wurzel{\bruch{1}{3}}})^2-1
[/mm]
So, ist [mm] q_2(x,y)=x^2+(\bruch{y}{\wurzel{\bruch{1}{3}}})^2-1 [/mm] jetzt das, was ich unter a) Zeichnen Sie die Normalform (bzgl.Kongruenz) der Quadrik Q mit Ihren Hauptachsen + ggf. Asymptoten, zeichnen soll?
Die Hauptachsen von [mm] q_2 [/mm] müssten ja 1 und [mm] \wurzel{\bruch{1}{3}} [/mm] sein, oder? Aber wie bekomm ich die Asymptoten jetzt???
Ganz zuletzt habe ich auch noch die Eigenräume zu den jeweiligen EW berechnet:
[mm] Eig(A,1)=<\vektor{1 \\ 1}> [/mm] und [mm] Eig(A,3)=<\vektor{-1 \\ 1}> [/mm] damit bekommt man eine Matrix S mit:
S= [mm] \wurzel{\bruch{1}{2}} \pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1 }
[/mm]
So in unserem Skript steht, dass man jetzt mit der Matrix S die ursprüngliche Matrix Q(x,y) zeichnen kann, was ja unter c) Zeichnen Sie die Quadrik Q mit Ihren Hauptachsen + ggf. Asymptoten. gefragt ist.
Aber wie mach ich das jetzt und wie bestimmt ich auch hier Asymptoten und Hauptachsen?
Ich weiß, das ist jetzt bisschen viel geworden. Wäre aber für Hilfe sehr dankbar, da solche Gesichten bestimmt sehr Klausurrelevant sein könnten.
Danke und Gruß.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:28 So 22.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:23 So 22.06.2008 | | Autor: | jaruleking |
Hi, keiner eine Erklärung, wie das abläuft???
Gruß
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Kann mir echt keiner helfen???
gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:31 Sa 28.06.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo Steve,
ich denke das Problem liegt darin, daß du meine Antwort ignoriert hast und einen anderen Rechenweg gewählt hast.
Ich helfe nur dann weiter, wenn du auch meinen Anweisungen folgst.
Wir haben hier zzT noch einen anderen Thread mit dem gleichen Problem.
Bei Interesse kannst du ihn gerne verfolgen.
LG
Will
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Hi, koepper, ja du hast ja eigentlich recht, nur ich habe mich nur an einem beispiel gehalten, dass in unserem skript war. das war für mich etwas einfacher, als zu substituieren und so.
das ergebnis müsste doch in beiden fällen gleich sein. nur wie gesagt versteh ich nicht ganz, wie man die sachen zeichnen soll. deswegen bitte ich hier um erklärungen.
gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:49 Sa 28.06.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo Steve,
wie du die Quadrik zeichnest ergibt sich aus der Normalform zusammen mit den beiden Substitutionen (z.B. eine Drehung und eine Verschiebung). Vielleicht solltest du auch mal bei Wikipedia nachlesen, wie der Kollege in dem bezogenen Thread.
Dann könntest du dich natürlich auch gerne an diesem Thread beteiligen. Sinn macht das natürlich nur dann, wenn du die Hauptachsentransformation verstehen willst. Wenn du nur Ergebnisse brauchst sind wir aber hier ohnehin nicht die richtige Anlaufstelle 
LG
Will
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ne, natürlich will ich es auch verstehen, sonst machts ja keinen sinn.
aber ist denn meine Vorgehensweise falsch????
Ich habe doch auch erst die Matrixdarstellung aufgestellt, dann verschoben, dann die EW berechnet, um die Drehmatrix aufzustellen, und daraus konnte man ja die Normalform aufstellen.
Später habe ich ja auch noch die Matrix S aus normierten EV bestimmt.
Also ich finde, die vorgehensweise ist doch so korrekt, sonst würde sich doch nicht in unserem Skript stehen.
Oder kannst du mir Stellen nennen, die überflüssig sind, oder nichts bringen usw.
wäre echt super.
gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:53 Sa 28.06.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo Steve,
> ne, natürlich will ich es auch verstehen, sonst machts ja
> keinen sinn.
das ist schön 
> aber ist denn meine Vorgehensweise falsch????
nein, falsch nicht. Im Prinzip hat man natürlich die Wahl, ob man zuerst verschieben und dann drehen (bzw spiegeln) will oder umgekehrt.
Aber du siehst, daß du zur Ermittlung des Verschiebungsvektors erst einiges rechnen mußt. Verstehst du wirklich, warum diese umständliche Rechnung mit dem LGS überhaupt erforderlich ist und welches Problem sich eigentlich dahinter verbirgt?
> Ich habe doch auch erst die Matrixdarstellung aufgestellt,
> dann verschoben, dann die EW berechnet, um die Drehmatrix
> aufzustellen, und daraus konnte man ja die Normalform
> aufstellen.
>
> Später habe ich ja auch noch die Matrix S aus normierten EV
> bestimmt.
>
> Also ich finde, die vorgehensweise ist doch so korrekt,
> sonst würde sich doch nicht in unserem Skript stehen.
Ich bestreite nicht, daß man so zu Ergebnissen kommen kann.
Aber verstehst du auch, wie diese Ergebnisse zustande kommen und warum?
> Oder kannst du mir Stellen nennen, die überflüssig sind,
> oder nichts bringen usw.
Ich bevorzuge es, zuerst die Matrix zu bearbeiten und damit die Drehung/Spiegelung durchzuführen.
Erst dann verschiebe ich. Beide Operationen führe ich mithilfe von Substitutionen durch. Am Ende haben wir dann die Normalform (in Hauptachsenlage) und können aus den beiden Substitutionen auf einfache und verständliche Weise die Kongruenzabbildung ermitteln, durch die diese Form auf die ursprüngliche Form zurück abgebildet wird.
Wenn du das einmal verstanden hast, wirst du es immer können, weil du dir keine Vorgehensweise und keine Formeln merken mußt.
Gruß
Will
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Deine beiden Fragen:
> Verstehst du wirklich, warum diese umständliche Rechnung mit dem LGS > überhaupt erforderlich ist und welches Problem sich eigentlich dahinter > verbirgt?
> Aber verstehst du auch, wie diese Ergebnisse zustande kommen und > warum?
kann ich leider nur mit nein beantwortet, weil ich wie gesagt, mich nur an ein beispiel und an dem beweis gehalten habe, den wir für die HAT gemacht haben. Weil ich hatte das nur so verstanden, dass die erste Rechnung zum Verschieben der Quadrik gemacht wird und die zweite Rechnung zum Drehen. Warum das aber in dieser Form geschieht, weiß ich leider nicht. habe dazu aber gerade einen Artikel bei Wikipedia gelesen, da steht ja, warum es gedreht und verschoben werden muss.
d.h. du schlägst vor:
1. die Quadrik in Matrizenschreibweise zu schreiben, also
$ [mm] Q(x,y)=2x^2+2y^2-2xy-2x-2y+1 [/mm] $ ist gleich:
$ [mm] Q(x,y)=++1 [/mm] $
2. Dann die EW von A bestimmen, also
[mm] \lambda_1=1 [/mm] und [mm] \lambda_2=3 [/mm]
3. Dann die EV zu diesen EW, also
$ [mm] Eig(A,1)=<\vektor{1 \\ 1}> [/mm] $ und $ [mm] Eig(A,3)=<\vektor{-1 \\ 1}> [/mm] $
4. Dann die EV normieren und die matrix aus den Spalten der EV angeben, also
S= $ [mm] \wurzel{\bruch{1}{2}} \pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1 } [/mm] $
5. Außerdem Diagonalmatrix aus EW von A aufstellen, also
[mm] D=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 3 } [/mm] und [mm] q_2(x,y)=-1=x^2+3y^2-1
[/mm]
So weiter komme ich jetzt nicht, das mit dem Substituieren habe ich nämlich noch nicht so verstanden.
und außerdem weiß ich nicht, wie ich bei dieser Rechung auf die Verschiebeung kommen würde, also auf [mm] q_1(x,y)=-1=2x^2+2y^2-2xy-1
[/mm]
kannst du mir das vielleicht noch erklären und das mit dem zeichnen kriege ich auch noch nicht hin :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:55 Sa 28.06.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo Steve,
> 1. die Quadrik in Matrizenschreibweise zu schreiben, also
> [mm]Q(x,y)=2x^2+2y^2-2xy-2x-2y+1[/mm] ist gleich:
>
> [mm]Q(x,y)=++1[/mm]
Die Schreibweise mit spitzen Klammern für ein Skalarprodukt ist hauptsächlich für den Fall gedacht, daß man ein individuell definiertes Skalarprodukt (oder eben ein "allgemeines") verwendet. Meint man dagegen das Standardskalarprodukt, ist es einfacher und übersichtlicher, wenn man die einfache Matrixmultiplikation verwendet. Für Spaltenvektoren a und b ist dann einfach $<a, b> = [mm] a^T [/mm] b$.
In diesem Fall also:
[mm] $Q(x)=x^T \pmat{ 2 & -1 \\ -1 & 2 } [/mm] x + [mm] x^T \vektor{-2 \\ -2} [/mm] + 1$
> 2. Dann die EW von A bestimmen, also
>
> [mm]\lambda_1=1[/mm] und [mm]\lambda_2=3[/mm]
ja.
> 3. Dann die EV zu diesen EW, also
>
> [mm]Eig(A,1)=<\vektor{1 \\ 1}>[/mm] und [mm]Eig(A,3)=<\vektor{-1 \\ 1}>[/mm]
ja.
> 4. Dann die EV normieren und die matrix aus den Spalten der
> EV angeben, also
>
> S= [mm]\wurzel{\bruch{1}{2}} \pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1 }[/mm]
richtig.
> 5. Außerdem Diagonalmatrix aus EW von A aufstellen, also
>
> [mm]D=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 3 }[/mm] und [mm]q_2(x,y)=-1=x^2+3y^2-1[/mm]
Lies jetzt bitte erstmal im anderen Thread mit.
Danach kommen wir hierauf zurück.
LG
Will
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HI.
ok, du sagst, wir wissen jetzt, dass mit S gilt:
M= [mm] \pmat{ 2 & -1 \\ -1 & 2 } =S*D*S^t
[/mm]
> Nun ersetze in der ursprünglichen Quadrik die Matrix M durch diesen Ausdruck.
Meinst du das so?
$ [mm] Q(x)=x^T SDS^T [/mm] x + [mm] x^T \vektor{-2 \\ -2} [/mm] + 1 $
> Dann setze $ y := [mm] S^T \cdot{} [/mm] x $. Wegen $ [mm] S^T [/mm] = [mm] S^{-1} [/mm] $ bedeutet das: x = S * y. Ersetze damit überall x durch y.
Weiß nicht, ob ich das so richtig verstehe?
[mm] Q(x)=Y^T [/mm] SDY+ [mm] Y^T \vektor{-2 \\ -2} [/mm] + 1
Was bringt mir das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:04 So 29.06.2008 | | Autor: | koepper |
Guten Morgen Steve,
> Meinst du das so?
>
> [mm]Q(x)=x^T SDS^T x + x^T \vektor{-2 \\ -2} + 1[/mm]
genau richtig.
> Dann setze [mm]y := S^T \cdot{} x [/mm]. Wegen [mm]S^T = S^{-1}[/mm] bedeutet
> das: x = S * y. Ersetze damit überall x durch y.
>
> Weiß nicht, ob ich das so richtig verstehe?
Du hast es richtig verstanden.
> [mm]Q(x)=Y^T[/mm] SDY+ [mm]Y^T \vektor{-2 \\ -2}[/mm] + 1
Nur die Durchführung war nicht ganz richtig.
Bitte kontrollier noch einmal: Du kannst nicht einfach x gegen y austauschen, sondern mußt entsprechend der Substitutionsgleichung vorgehen. Wenn x = S * y gilt, dann ist mit den Regeln zur Transposition [mm] $x^T [/mm] = [mm] y^T [/mm] * [mm] S^T$.
[/mm]
> Was bringt mir das?
Wir haben dann eine Quadrik mit Diagonalmatrix.
Die kannst du dann in Koordinatenform schreiben und mittels quadratischer Ergänzung noch die linearen Terme mit [mm] $y_1$ [/mm] und [mm] $y_2$ [/mm] beseitigen. Dann hast du die Hauptachsenform.
Gruß
Will
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:17 Di 19.06.2012 | | Autor: | SirTig |
Was hat die neue quadratische Gleichung nun mit der alten zu tun?
Kann man sagen, es ist die gleiche Gleichung bzgl neuer Koordinaten/einer neuen ONB?
Klar, sie ist vom gleichen Typ und ich weiß, dass die beiden quadriken homöomrph sind, aber wie kann ich jetzt die ursprüngliche quadrik zeichnen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:10 Mi 20.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
die neue Quadrik hat denselben Verlauf wie die alte, sie sind kongruent, aber in einem gedrehten und verschobenen Koordinatensystem. zeichne das gedrehte versch. Koordinatensystem in das alte ein, zeichne die Quadrik durch die in dem gedrehten System bestimmten Achsen usw ein. dann iehst d sie im alten (und neuen) System.
Gruss leduart
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