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| Aufgabe | | Es wird die Zufallsvariable X= Summe (i=1 über n) Xi mit Xi~ Exp(2) , i = 1,..., n , betrachtet. Wie hoch ist mindestens die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis {2<gleich X <gleich 8} im Falle von n = 10. |
Hallo :9
ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. Und hoffe ihr könnt mir helfen :) Ich habe meinen Dozenten gefragt , wie denn überhaupt der Rechenansatz zu der Aufgabe ist. Er meinte da nur nach einer Annäherung gefragt ist muss die Ungleichung von Tschebyscheff angewendet werden. Dazu brauche ich aber erst den Erwartungswert und die Varianz.
Dabei scheitert mein Wissen jetzt. Der Erwartungswert wird sonst immer mit n mal p berechnet. Ich habe aber kein p. Stattdessen dachte ich , dass es so funktionieren würde :
mü = E(x(quer) = (8+2)/2 = 5
Um weiter zu machen fehlt mir einfach das Wissen...
Würde mich über eine sehr baldige Erklärung freuen :)
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Hiho,
die Frage gabs vor kurzem schonmal (schau mal hier)
Dabei kamen wir überein, dass eine sinnvolle Abschätzung nicht wirklich möglich ist, solange die ZV nicht unabhängig sind.
Den Erwartungswert für X kannst du jedoch recht einfach ausrechnen, es gilt ja:
$E[X] = [mm] E[\summe_{i=1}^{n}X_i] [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}E[X_i]$
[/mm]
Und den Erwartungswert von Exponentialverteilten ZV solltest du bestimmen können 
Solltest du jedoch auf eine schöne Lösung kommen (oder eine Idee haben), so kannst du sie gern hier posten (im Übrigen würde mich die Lösung auch interessieren......)
MFG,
Gono.
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Ich stehe grad total auf dem Schlauch . Wie errechne ich denn den Erwartungwert??
$ E[X] = [mm] E[\summe_{i=1}^{n}X_i] [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}E[X_i] [/mm] $
Dann brauche ich doch aber ein Mittelwert von X. Wird [mm] \bar [/mm] X dann so berechnet? (2+3+4+5+6+7+8 ) 7 ( oder 10 da n =10)
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Hallo,
> Ich stehe grad total auf dem Schlauch . Wie errechne ich
> denn den Erwartungwert??
>
> [mm]E[X] = E[\summe_{i=1}^{n}X_i] = \summe_{i=1}^{n}E[X_i][/mm]
>
> Dann brauche ich doch aber ein Mittelwert von X. Wird [mm]\bar[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> X dann so berechnet? (2+3+4+5+6+7+8 ) 7 ( oder 10 da n
> =10)
Wieso brauchst du einen Mittelwert von X?
Du weißt, dass X_i exponentialverteilt ist mit Parameter \lambda = 2. Es gilt also:
Die Wahrscheinlichkeitsdichte von X_i ist $f_{X_{i}}(x) = \begin{cases}\lambda*e^{-\lambda*x}, \mbox{ falls }x\ge 0\\ 0,\mbox{ falls }x < 0}\end{cases}$. Damit kannst du doch den Erwartungswert $E(X_i) = \int_{-\infty}^{\infty}x*f_{X_{i}}(x) dx$ berechnen (partielle Integration)!
Alternativ suche bei ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia.
Grüße,
Stefan
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Ahso !
Ja gut. Wäre dieser Rechenweg denn dann hierhin richtig ?
[mm] $E[X]=\integral_{2}^{8}{x* 2 *e^{-2x} dx}
[/mm]
[mm] =[2x*-2*e^{-2x} ]_{2}^{8} [/mm] - [mm] \integral_{2}^{8}{2*-2*e^{-2*x}dx}
[/mm]
= 0,14652151 - [mm] [2*e^{-2*x}]_{2}^{8}
[/mm]
= 0,14652151 - (- 0,0366310)
=~ 0,1831
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Hallo!
> Ahso !
>
> Ja gut. Wäre dieser Rechenweg denn dann hierhin richtig ?
>
> [mm]$E[X]=\integral_{2}^{8}{x* 2 *e^{-2x} dx}[/mm]
Nein!
Der Erwartungswert ist:
[mm] $E[X]=\integral_{0}^{\infty}{x*2*e^{-2x} dx}$
[/mm]
die Grenzen sind also 0 und unendlich (beachte Aussehen von [mm] f_X [/mm] !).
Wenn du den Erwartungswert berechnest, hat das doch noch nichts mit der Aufgabenstellung zu tun, deswegen kommen hier auch noch keine 2 und 8 vor.
> [mm]=[2x*-2*e^{-2x} ]_{2}^{8}[/mm] -
> [mm]\integral_{2}^{8}{2*-2*e^{-2*x}dx}[/mm]
Du hast falsch partiell integriert.
Es ist f(x) = 2*x die Funktion, die abgeleitet wird, und g(x) = [mm] e^{-2*x} [/mm] die Funktion, die integriert wird. Du integrierst g falsch.
Grüße,
Stefan
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Aaaah danke dir Stefan für deine erneute Beantwortung ;)
Ich habe das Skript aber noch einmal durchgelesen und die Berechnung ist glaube ich einfacher als mithilfe des Intergrals:
Wegen der Exponentialfunktion ist das [mm] \lambda [/mm] gegeben, wie du zuvor erwähntest.
Mithilfe dieser Information kann ich doch jetzt den Erwartungswert und die Varianz bilden:
[mm] $E[X]=\bruch{1}{\lambda} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \sigma^2=\bruch{1}{\lambda^2}=\bruch{1}{4}
[/mm]
Somit ist mithilfe der Gleichung von Tschebyscheff:
[mm] W(-2\le$X\le 8)=W(X-\mu]|\le8)\ge1- \bruch{\sigma^2]}{8^2}=1-0,25:64 [/mm]
Aber das kann wieder nicht stimmen, da ich das n garnicht mit einbezogen habe. Und das Ergebnis stimmt auch wieder nicht...
Rauskommen soll nämlich 72,22%
Kann mir jemand helfen???
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Hallo,
die Lösung aus deinem Lösungsheft geht von unabhängig verteilten Zufallsvariablen aus. Deswegen nehmen wir das jetzt an.
> Aaaah danke dir Stefan für deine erneute Beantwortung ;)
>
> Ich habe das Skript aber noch einmal durchgelesen und die
> Berechnung ist glaube ich einfacher als mithilfe des
> Intergrals:
>
> Wegen der Exponentialfunktion ist das [mm]\lambda[/mm] gegeben, wie
> du zuvor erwähntest.
>
> Mithilfe dieser Information kann ich doch jetzt den
> Erwartungswert und die Varianz bilden:
> [mm]$E[X]=\bruch{1}{\lambda}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> [mm]\sigma^2=\bruch{1}{\lambda^2}=\bruch{1}{4}[/mm]
Richtig.
> Somit ist mithilfe der Gleichung von Tschebyscheff:
>
> [mm]W(-2\le$X\le 8)=W(X-\mu]|\le8)\ge1- \bruch{\sigma^2]}{8^2}=1-0,25:64[/mm]
Das ist falsch!
Was ist denn [mm] \mu [/mm] ? Das X über das du hier redest kann auch nicht das X aus der Aufgabenstellung sein.
> Aber das kann wieder nicht stimmen, da ich das n garnicht
> mit einbezogen habe. Und das Ergebnis stimmt auch wieder
> nicht...
Wir brauchen kein n!
Sind [mm] X_1,...,X_10 [/mm] unabhängig und identisch verteilt, so gilt für $X = [mm] \sum_{k=1}^{10}X_k$:
[/mm]
$E(X) = [mm] E\left(\sum_{k=1}^{10}X_k\right) [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{10}E(X_k) [/mm] = [mm] 10*E(X_1) [/mm] = [mm] 10*\frac{1}{2} [/mm] = 5.$
Das zweite Gleichheitszeichen braucht dabei weder, das die [mm] X_i [/mm] unabhängig noch dass die [mm] X_i [/mm] identisch verteilt sind. Das dritte Gleichheitszeichen braucht, dass die [mm] X_i [/mm] identisch verteilt sind. Für die folgende Gleichung brauchen wir beides:
$Var(X) = [mm] Var\left(\sum_{k=1}^{10}X_k\right) [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{10}Var(X_k) [/mm] = [mm] 10*Var(X_1) [/mm] = [mm] 10*\frac{1}{4} [/mm] = 2.5.$
Das zweite Gleichheitszeichen braucht hier die Unabhängigkeit der [mm] X_i [/mm] !
Um dieses " X " geht es in der Aufgabenstellung!
Nun:
[mm] $P(2\le X\le [/mm] 8) = P(|X-5| [mm] \le [/mm] 3) = 1 - P(|X-5| > 3) = 1 - P(|X-E(X)| > [mm] \varepsilon)$
[/mm]
Die Ungleichung von Tschebyscheff liefert (im Übrigen geht hier auch > statt [mm] \ge [/mm] , weil X stetig verteilt ist):
$P(|X-E(X)| > [mm] \varepsilon) \le \frac{Var(X)}{\varepsilon^{2}}$.
[/mm]
Den Rest überlasse ich dir.
Grüße,
Stefan
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