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| Aufgabe | Seien V ein euklidischer Vektorraum der Dimension n und [mm] \Gamma [/mm] = [mm] \oplus_{i=1}^{m}\IZ v_i \subseteq [/mm] V ein Gitter, wobei die [mm] v_i \in [/mm] V linear unabhängig über [mm] \IR [/mm] sind.
Bezeichne außerdem [mm] \Phi [/mm] = [mm] \{\sum_{i=1}^m x_iv_i | x_i \in [0,1) \} [/mm] die zugehörige Grundmasche von [mm] \Gamma. [/mm]
Zeigen Sie: [mm] \Gamma \subseteq [/mm] V ist genau dann vollständig (d.h. m=n), wenn [mm] V/\Gamma [/mm] kompakt ist. |
Hallo Leute,
bisher hab ich mir überlegt, dass [mm] \Phi [/mm] ein Repräsentantensystem für [mm] V/\Gamma [/mm] ist. Außerdem hab ich in einer vorangegangenen Aufgabe bereits gezeigt, dass V = [mm] \bigcup_{\gamma \in \Gamma} (\gamma [/mm] + [mm] \Phi) [/mm] genau dann gilt, wenn [mm] \Gamma [/mm] vollständig ist.
Ein modifizierter Satz in der Vorlesung besagt außerdem, dass [mm] \Gamma [/mm] genau dann vollständig ist, wenn eine beschränkte Teilmenge M [mm] \subseteq [/mm] V existiert, sodass V = [mm] \bigcup_{\gamma \in \Gamma} (\gamma [/mm] + M) gilt.
Ich habe das Gefühl, dass diese Aussagen weitestgehend ausreichen müssten, um die zu zeigende Äquivalenz zu beweisen, aber leider komme ich bisher auf nichts, was mir irgendwie weiterhelfen würde.
Wenn ich annehme, dass [mm] V/\Gamma [/mm] kompakt ist, dann würde es zum Beispiel reichen, V = [mm] \bigcup_{\gamma \in \Gamma} (\gamma [/mm] + [mm] V/\Gamma) [/mm] zu zeigen. Leider habe ich keinen Schimmer, wie man das bewerkstelligen soll.
Wenn ich umgekehrt annehme, dass [mm] \Gamma [/mm] vollständig ist, dann weiß ich, dass V = [mm] \bigcup_{\gamma \in \Gamma} (\gamma [/mm] + [mm] \Phi) [/mm] gilt, aber wie man daraus schließen soll, dass [mm] V/\Gamma [/mm] kompakt ist, ist mir ein Rätsel.
Ich hoffen, dass jemand von euch hier mehr durchblickt wie ich und mir eine Hilfestellung geben könnte.
Viele Grüße
Anfänger
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:56 So 25.11.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Seien V ein euklidischer Vektorraum der Dimension n und
> [mm]\Gamma[/mm] = [mm]\oplus_{i=1}^{m}\IZ v_i \subseteq[/mm] V ein Gitter,
> wobei die [mm]v_i \in[/mm] V linear unabhängig über [mm]\IR[/mm] sind.
> Bezeichne außerdem [mm]\Phi[/mm] = [mm]\{\sum_{i=1}^m x_iv_i | x_i \in [0,1) \}[/mm]
> die zugehörige Grundmasche von [mm]\Gamma.[/mm]
>
> Zeigen Sie: [mm]\Gamma \subseteq[/mm] V ist genau dann vollständig
> (d.h. m=n), wenn [mm]V/\Gamma[/mm] kompakt ist.
Schau mal hier, da ist das beantwortet 
> bisher hab ich mir überlegt, dass [mm]\Phi[/mm] ein
> Repräsentantensystem für [mm]V/\Gamma[/mm] ist.
Genau.
> Außerdem hab ich
> in einer vorangegangenen Aufgabe bereits gezeigt, dass V =
> [mm]\bigcup_{\gamma \in \Gamma} (\gamma[/mm] + [mm]\Phi)[/mm] genau dann
> gilt, wenn [mm]\Gamma[/mm] vollständig ist.
> Ein modifizierter Satz in der Vorlesung besagt außerdem,
> dass [mm]\Gamma[/mm] genau dann vollständig ist, wenn eine
> beschränkte Teilmenge M [mm]\subseteq[/mm] V existiert, sodass V =
> [mm]\bigcup_{\gamma \in \Gamma} (\gamma[/mm] + M) gilt.
>
> Ich habe das Gefühl, dass diese Aussagen weitestgehend
> ausreichen müssten, um die zu zeigende Äquivalenz zu
> beweisen, aber leider komme ich bisher auf nichts, was mir
> irgendwie weiterhelfen würde.
Jo.
Also. Betrachte die Projektion [mm] $\pi [/mm] : V [mm] \to V/\Gamma$. [/mm] Diese ist stetig. Die Menge [mm] $\overline{\Phi}$ [/mm] ist kompakt, und [mm] $\pi(\overline{\Phi}) \supset \pi(\Phi) [/mm] = [mm] V/\Gamma$. [/mm] Das Bild einer kompakten Menge unter einer stetigen Abbildung ist kompakt, also hast du den Teil erledigt.
Fuer den Rest: aus [mm] $V/\Gamma$ [/mm] kompakt kannst du eine beschraenkte Menge $B$ mit [mm] $\Gamma [/mm] + B = V$ basteln (siehe meinen Post im anderen Thread, auf den oben verlinkt wird). Aus dem Satz aus der Vorlesung folgt dann, dass [mm] $\Gamma$ [/mm] vollstaendig ist.
> Wenn ich annehme, dass [mm]V/\Gamma[/mm] kompakt ist, dann würde es
> zum Beispiel reichen, V = [mm]\bigcup_{\gamma \in \Gamma} (\gamma[/mm]
> + [mm]V/\Gamma)[/mm] zu zeigen. Leider habe ich keinen Schimmer, wie
Das geht nicht, schliesslich ist [mm] $V/\Gamma$ [/mm] keine Teilmenge von $V$!
LG Felix
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Hallo Felix,
danke für die ausführliche und informative Antwort, jetzt ist alles klar!
Viele Grüße
Anfänger
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