Zeichnen einer Quadrik < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:25 Fr 27.06.2008 | | Autor: | jaruleking |
Hallo, ich hatte so ein ähnlichen thread hier schon mal, aber ich habe da keine Antworten mehr drauf bekommen, deswegen versuch ich es nochmal, weil ich die Aufgabe sehr wichtig finde. Komme nämlich mit dem Zeichnen noch nicht so zurecht.
Die Aufgabenstellung war:
Betrachten Sie die Quadrik Q die durch [mm] 2x^2+2y^2-2xy-2x-2y+1 [/mm] definiert wird.
a) Zeichnen Sie die Normalform (bzgl.Kongruenz) der Quadrik Q mit Ihren Hauptachsen + ggf. Asymptoten.
b) Zeichnen Sie die zum Ursprung verschobene Quadrik Q mit Ihren Hauptachsen + ggf. Asymptoten.
c) Zeichnen Sie die Quadrik Q mit Ihren Hauptachsen + ggf. Asymptoten.definiert wird.
$ [mm] Q(x,y)=2x^2+2y^2-2xy-2x-2y+1 [/mm] $
So diese Quadrik habe ich erst in Matrizenschreibweise geschrieben, d.h.
$ [mm] Q(x,y)=++1 [/mm] $
So dann habe ich estmal das Gleichungssystem $ [mm] A\cdot{}v=\bruch{1}{b}\cdot{}b [/mm] $ gelöst und bin so auf den Vektor $ [mm] v=\vektor{-1 \\ -1} [/mm] gekommen, um die Quadrik verschieben zu können, so hatten wir das nämlich in einem Beispiel in der Vorlesung auch gemacht. So dann kam für die erste Kongruenzabbildung (Verschiebungsabbildung) folgendes heraus:
$ [mm] q_1(x)=++1 [/mm] $
so insgesamt kam dabei heraus: $ [mm] q_1(x,y)=-1=2x^2+2y^2-2xy-1. [/mm] $
So die zweite Aufgabe lautet ja: b) Zeichnen Sie die zum Ursprung verschobene Quadrik Q mit Ihren Hauptachsen + ggf. Asymptoten.
Heißt das jetzt, ich muss $ [mm] q_1(x,y)=2x^2+2y^2-2xy-1 [/mm] $ zeichnen??? oder versteh ich das jetzt falsch? Wenn ja, macht man das am Besten mit einer Wertetabelle und dann Werte einsetzten oder wie? Und andere frage, wo erkenn ich da jetzt die Hauptachsen und die Asymptoten?
Weiter gehts:
Dann habe ich die Normalform ausgerechnet, indem ich erst von der Matrix A die EW bestimmt habe, die lauten $ [mm] \lambda_1=1 [/mm] $ und $ [mm] \lambda_2=3 [/mm] $
Jetzt kann man ja die zweite Kongruenzabbildung (Drehabbildung) angeben, und zwar:
$ [mm] q_2(x,y)=-1=x^2+3y^2-1 [/mm] $
1) x=0 $ [mm] \Rightarrow 3y^2-1=0 \gdw y=\pm\wurzel{\bruch{1}{3}} [/mm] $
2) y=0 $ [mm] \Rightarrow x^2-1=0 \gdw x=\pm1 [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow q_2(x,y)=x^2+(\bruch{y}{\wurzel{\bruch{1}{3}}})^2-1 [/mm] $
So, ist $ [mm] q_2(x,y)=x^2+(\bruch{y}{\wurzel{\bruch{1}{3}}})^2-1 [/mm] $ jetzt das, was ich unter a) Zeichnen Sie die Normalform (bzgl.Kongruenz) der Quadrik Q mit Ihren Hauptachsen + ggf. Asymptoten, zeichnen soll, wenn ja, wie???
Die Hauptachsen von $ [mm] q_2 [/mm] $ müssten ja 1 und $ [mm] \wurzel{\bruch{1}{3}} [/mm] $ sein, oder? Aber wie bekomm ich die Asymptoten jetzt???
Ganz zuletzt habe ich auch noch die Eigenräume zu den jeweiligen EW berechnet:
$ [mm] Eig(A,1)=<\vektor{1 \\ 1}> [/mm] $ und $ [mm] Eig(A,3)=<\vektor{-1 \\ 1}> [/mm] $ damit bekommt man eine Matrix S mit:
S= $ [mm] \wurzel{\bruch{1}{2}} \pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1 } [/mm] $
So in unserem Skript steht, dass man jetzt mit der Matrix S die ursprüngliche Matrix Q(x,y) zeichnen kann, was ja unter c) Zeichnen Sie die Quadrik Q mit Ihren Hauptachsen + ggf. Asymptoten. gefragt ist.
Aber wie mach ich das jetzt und wie bestimmt ich auch hier Asymptoten und Hauptachsen?
Wie gesagt, habe mit dem Zeichnen noch große Schwierigkeiten und würde mich über Hilfe sehr freuen.
Gruß
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:59 Sa 28.06.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
wir sollten hier zu einer Frage auch nur einen Thread geöffnet haben.
siehe hier
Gruß
Will
|
|
|
|
