dgl 2ter ordnung bestimmen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:48 Fr 06.06.2008 | | Autor: | snufkyn |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hallo ihr lieben
hab mal wieder etwas (zumind für mich noch) unlösbares von meinem prof bekommen.
aufgabe:
Gegeben sei eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung für einen getriebenen gedämpften harmonischen Oszillator
x''(t) + [mm] 2\gamma [/mm] x'(t) + [mm] \omega^{2} [/mm] x(t) = f(t)
wobei gilt [mm] \gamma [/mm] und [mm] \omega \in \IR^{+} [/mm]
und [mm] \omega [/mm] > [mm] \gamma
[/mm]
a) Schreiben Sie die DGL in ein System von DGLs erster Ordnung um und lösen Sie es für f(t)=0 .
b) Lösen Sie das System für f(t) = [mm] cos(\omega_{0}t).
[/mm]
Verwenden Sie dabei falls notwendig, dass gilt: cos(x) = [mm] \bruch{1}{2} (e^{ix} [/mm] + [mm] e^{-ix}) [/mm]
mein vorschlag zu a) wäre folgender:
ich substituiere: x''(t) = z'(t)
damit habe ich zwar die dgl in eine dgl erster ordnung überführt, allersings weiss ich nicht, wie ich das [mm] \omega^{2} [/mm] x(t) dann substituieren soll. denn das x(t) ergäbe doch ein [mm] \integral{z(t) dz} [/mm] oder nicht? und das darf ja nciht in die dgl hinein....
das ist mein erstes problem.
das zweite folgt zugleich:
sollte das mit der substitution wirklich so funktionieren, dann käme doch nur eine trennung der variablen und variation der konstanten in frage, oder liege ich falsch?
ich habe das mit der substitution und trennung der variablen/variation der konstanten gemacht (das [mm] \omega^{2} [/mm] x(t) nach der substitution einfach mitintegriert), aber ich kam auf ein stranges teilergebnis, bei dem ich nicht weiter weiss....
( [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] 2\gamma [/mm] ) x' = - [mm] \omega^{2} x^{2} [/mm] + c
das ist sicherlich nciht richtig..
und teilaufgabe b) hab ich schon gar nicht....das wäre doch ein anfangswertproblem oder nciht? aber wie gesagt, ich komme nicht einmal bei a) aufn grünen zweig..
BITTE HELFT MIR, ich sitze seit 3 tagen über papula, wiki, tipler und träume schon von dieser aufgabe....
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Hallo snufkyn,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> hallo ihr lieben
>
> hab mal wieder etwas (zumind für mich noch) unlösbares von
> meinem prof bekommen.
>
> aufgabe:
>
> Gegeben sei eine lineare Differentialgleichung zweiter
> Ordnung für einen getriebenen gedämpften harmonischen
> Oszillator
>
> x''(t) + [mm]2\gamma[/mm] x'(t) + [mm]\omega^{2}[/mm] x(t) = f(t)
>
> wobei gilt [mm]\gamma[/mm] und [mm]\omega \in \IR^{+}[/mm]
> und [mm]\omega[/mm] > [mm]\gamma[/mm]
>
>
> a) Schreiben Sie die DGL in ein System von DGLs erster
> Ordnung um und lösen Sie es für f(t)=0 .
>
> b) Lösen Sie das System für f(t) = [mm]cos(\omega_{0}t).[/mm]
> Verwenden Sie dabei falls notwendig, dass gilt: cos(x) =
> [mm]\bruch{1}{2} (e^{ix}[/mm] + [mm]e^{-ix})[/mm]
>
>
>
> mein vorschlag zu a) wäre folgender:
>
> ich substituiere: x''(t) = z'(t)
> damit habe ich zwar die dgl in eine dgl erster ordnung
> überführt, allersings weiss ich nicht, wie ich das
> [mm]\omega^{2}[/mm] x(t) dann substituieren soll. denn das x(t)
> ergäbe doch ein [mm]\integral{z(t) dz}[/mm] oder nicht? und das darf
> ja nciht in die dgl hinein....
> das ist mein erstes problem.
>
Führe die Substitutionen
[mm]x'\left(t\right)=z_{0}\left(t\right)[/mm]
[mm]x'\left(t\right)=z_{1}\left(t\right)[/mm]
ein.
Dann ergibt sich ein System 1. Ordnunng:
[mm]\pmat{z_{0}\left(t\right) \\ z_{1}\left(t\right)}' = A*\pmat{ z_{0}\left(t\right) \\ z_{1}\left(t\right)}+b[/mm]
,wobei hier [mm]A \in \IR^{2 \times 2}[/mm] eine konstante Matrix , und [mm]b=b\left(t\right)[/mm] ein Vektor aus [mm]\IR^{2}[/mm] ist.
Löse hier das System zunächst für [mm]b\left(t\right)=\pmat{0 \\ 0}[/mm].
> das zweite folgt zugleich:
> sollte das mit der substitution wirklich so funktionieren,
> dann käme doch nur eine trennung der variablen und
> variation der konstanten in frage, oder liege ich falsch?
> ich habe das mit der substitution und trennung der
> variablen/variation der konstanten gemacht (das [mm]\omega^{2}[/mm]
> x(t) nach der substitution einfach mitintegriert), aber ich
> kam auf ein stranges teilergebnis, bei dem ich nicht weiter
> weiss....
>
>
> ( [mm]\bruch{1}{2}[/mm] + [mm]2\gamma[/mm] ) x' = - [mm]\omega^{2} x^{2}[/mm] + c
>
> das ist sicherlich nciht richtig..
>
> und teilaufgabe b) hab ich schon gar nicht....das wäre doch
> ein anfangswertproblem oder nciht? aber wie gesagt, ich
> komme nicht einmal bei a) aufn grünen zweig..
Ein Anfangswertproblem ist es erst, wenn man konkrete Vorgaben hat, wie
[mm]x\left(t_{0}\right)=x_{0}[/mm]
[mm]x'\left(t_{0}\right)=x'_{0}[/mm]
Bei Teil b) ist ein inhomogenes System zu lösen, d.h. hier ist [mm]b\left(t\right) \not= \pmat{0 \\ 0}[/mm]
Bei Teil a) hingegen spricht man von einem homogenen System, da [mm]b\left(t\right) = \pmat{0 \\ 0}[/mm].
>
> BITTE HELFT MIR, ich sitze seit 3 tagen über papula, wiki,
> tipler und träume schon von dieser aufgabe....
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Fr 06.06.2008 | | Autor: | snufkyn |
hallo MathePower,
vielen dank für dein schnelles reagieren!
ich verstehe aber leider nicht viel von dem, was du schreibst (aus mangel an kenntnissen).
wenn A eine 2x2 matrix ist, z.b. mit der form:
[mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm]
(denn eine andere form ist ja nicht gegeben, sehe ich das recht?)
dann muss laut deiner lösung
[mm] \pmat{z_{0}\left(t\right) \\ z_{1}\left(t\right)}' [/mm] = [mm] A\cdot{}\pmat{ z_{0}\left(t\right) \\ z_{1}\left(t\right)}+b
[/mm]
doch folgendes gelten, richtig?:
[mm] \pmat{z_{0}\left(t\right) \\ z_{1}\left(t\right)}' [/mm] = [mm] \vektor{az_{0}(t)+bz_{1}(t) \\ cz_{0}(t)+dz_{1}(t)}
[/mm]
wie ich es ausrechnen soll, ist mir nicht klar.
und ist dies ein tippfehler?
[mm] x'\left(t\right)=z_{0}\left(t\right)
[/mm]
[mm] x'\left(t\right)=z_{1}\left(t\right)
[/mm]
muss es nicht eher heissen?
[mm] x\left(t\right)=z_{0}\left(t\right)
[/mm]
[mm] x'\left(t\right)=z_{1}\left(t\right)
[/mm]
und kannst du mir knapp erklären, wie du auf all das kommst?
und: ist "trennung der variablen/variation der konstanten" ein falscher lösungsweg?
danke schön :o)
nachtrag:
ich habe ausserdem eine alternativ"lösung" bzw lösungsansatz gefunden (papula band 2, 10.auflage, seite 508):
freie gedämpfte schwingung
Die Differentialgleichung einer freien gedämpften Schwingung lautet:
mx'' + bx' + cx = 0
oder - mit den Abkürzungen [mm] 2\delta [/mm] = b / m und [mm] \omega^{2} [/mm] = c / m:
x'' + [mm] 2\delta [/mm] x' + [mm] \omega^{2}_{0} [/mm] x = 0
Die physikalischen Grössen [mm] \delta [/mm] und [mm] \omega_{0} [/mm] werden wie folgt berechnet:
[mm] \delta [/mm] : Dämpfungsfaktor oder Abklingkonstante
[mm] \omega_{0} [/mm] : Eigen- oder Kennkreisfrequenz
Die zugehörige charakteristische Gleichung
[mm] \lambda^{2} [/mm] + [mm] 2\delta \lambda [/mm] + [mm] \omega^{2}_{0} [/mm] = 0
beditzt die Lösungen
[mm] \lambda_{1/2} [/mm] = - [mm] \delta \pm \wurzel{\delta^{2} - \omega^{2}_{0}}
[/mm]
über deren ART die Diskriminante D = [mm] \delta^{2} [/mm] - [mm] \omega^{2}_{0} [/mm] entscheidet. Nur bei schwacher Dämpfung ist das mechanische System zu echten Schwingungen fähig (sog. Schwingungsfall). Dieser Fall tritt für D < 0, d.h. [mm] \delta [/mm] < [mm] \omega^{2}_{0} [/mm] ein (unser fall, siehe aufgabenbeschreibung!)
weiter heisst es (Interpretation aus physikalischer Sicht):
es liegt eine gedämpfte Schwingung vor. Das mechanische System schwingt dabei mit einer - gegenüber der ungedämpften schwingung - verkleinerten Kreisfrequenz. Sie beträgt:
[mm] \omega_{d} [/mm] = [mm] \wurzel{\omega^{2}_{0} - \delta^{2}} [/mm]
hab das mal kurz abgeschrieben, vllt bringt es dich aufn grünen zweig (mich schon lange nicht mehr..das freche dabei ist, wir haben diffgleichungen noch nie zuvor besprochen udn aus heiterem himmel sollen wir das jetzt lösen.........)
liebe grüsse, snufkyn
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Hallo snufkyn,
> hallo MathePower,
>
> vielen dank für dein schnelles reagieren!
>
> ich verstehe aber leider nicht viel von dem, was du
> schreibst (aus mangel an kenntnissen).
>
>
> wenn A eine 2x2 matrix ist, z.b. mit der form:
>
> [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm]
>
> (denn eine andere form ist ja nicht gegeben, sehe ich das
> recht?)
>
> dann muss laut deiner lösung
>
> [mm]\pmat{z_{0}\left(t\right) \\ z_{1}\left(t\right)}'[/mm] =
> [mm]A\cdot{}\pmat{ z_{0}\left(t\right) \\ z_{1}\left(t\right)}+b[/mm]
>
> doch folgendes gelten, richtig?:
>
> [mm]\pmat{z_{0}\left(t\right) \\ z_{1}\left(t\right)}'[/mm] =
> [mm]\vektor{az_{0}(t)+bz_{1}(t) \\ cz_{0}(t)+dz_{1}(t)}[/mm]
Mit a,b,c,d [mm]\in \IR[/mm]. Dann stimmt das.
>
> wie ich es ausrechnen soll, ist mir nicht klar.
Erstmal suchen wir eine Transformationsmatrix T, die das DGL-System in ein einfacher zu lösendes System überführt. Es gilt also
[mm]Z=\pmat{z_{0}\left(t\right) \\ z_{1}\left(t\right) } = T*\tilde{Z}=T*\pmat{\tilde{z}_{0}\left(t\right) \\ \tilde{z}_{1}\left(t\right) } [/mm]
Dann erhalten wir:
[mm]Z'=T*\tilde{Z}'=A*T*\tilde{Z}[/mm]
[mm]\Rightarrow \tilde{Z}'=\left( T^{-1}*A*T \right)*\tilde{Z}[/mm]
Um diese Matrix T zu bestimmen, berechnen wir zunächst die
Eigenwerte der Matrix A.
Bestimme dann zu jedem Eigenwert, den zugehörigen Eigenvektor.
Diese Eigenvektoren trägst Du in die Matrix T ein.
Dann löst Du dieses DGL-System:
[mm]\tilde{Z}'=T^{-1}*A*T*\tilde{Z}[/mm]
Daraus ergeben sich die Lösungen zu einem ![[]](/images/popup.gif) Fundamentalsystem
>
> und ist dies ein tippfehler?
> [mm]x'\left(t\right)=z_{0}\left(t\right)[/mm]
> [mm]x'\left(t\right)=z_{1}\left(t\right)[/mm]
>
> muss es nicht eher heissen?
> [mm]x\left(t\right)=z_{0}\left(t\right)[/mm]
> [mm]x'\left(t\right)=z_{1}\left(t\right)[/mm]
Stimmt, ist ein Tippfehler.
>
> und kannst du mir knapp erklären, wie du auf all das
> kommst?
>
> und: ist "trennung der variablen/variation der konstanten"
> ein falscher lösungsweg?
So wie das System im Moment vorliegt, ja.
>
> danke schön :o)
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 Fr 06.06.2008 | | Autor: | snufkyn |
hallo mathepower
ich danke dir sehr für deine sehr ausführliche antwort!!!
du hast mich enorm weitergebracht!!
nur noch eine letzte frage :)
ich habe eine alternativ"lösung" bzw lösungsansatz gefunden (papula band 2, 10.auflage, seite 508):
freie gedämpfte schwingung
Die Differentialgleichung einer freien gedämpften Schwingung lautet:
mx'' + bx' + cx = 0
oder - mit den Abkürzungen $ [mm] 2\delta [/mm] $ = b / m und $ [mm] \omega^{2} [/mm] $ = c / m:
x'' + $ [mm] 2\delta [/mm] $ x' + $ [mm] \omega^{2}_{0} [/mm] $ x = 0
Die physikalischen Grössen $ [mm] \delta [/mm] $ und $ [mm] \omega_{0} [/mm] $ werden wie folgt berechnet:
$ [mm] \delta [/mm] $ : Dämpfungsfaktor oder Abklingkonstante
$ [mm] \omega_{0} [/mm] $ : Eigen- oder Kennkreisfrequenz
Die zugehörige charakteristische Gleichung
$ [mm] \lambda^{2} [/mm] $ + $ [mm] 2\delta \lambda [/mm] $ + $ [mm] \omega^{2}_{0} [/mm] $ = 0
beditzt die Lösungen
$ [mm] \lambda_{1/2} [/mm] $ = - $ [mm] \delta \pm \wurzel{\delta^{2} - \omega^{2}_{0}} [/mm] $
über deren ART die Diskriminante D = $ [mm] \delta^{2} [/mm] $ - $ [mm] \omega^{2}_{0} [/mm] $ entscheidet. Nur bei schwacher Dämpfung ist das mechanische System zu echten Schwingungen fähig (sog. Schwingungsfall). Dieser Fall tritt für D < 0, d.h. $ [mm] \delta [/mm] $ < $ [mm] \omega^{2}_{0} [/mm] $ ein (unser fall, siehe aufgabenbeschreibung!)
weiter heisst es (Interpretation aus physikalischer Sicht):
es liegt eine gedämpfte Schwingung vor. Das mechanische System schwingt dabei mit einer - gegenüber der ungedämpften schwingung - verkleinerten Kreisfrequenz. Sie beträgt:
$ [mm] \omega_{d} [/mm] $ = $ [mm] \wurzel{\omega^{2}_{0} - \delta^{2}} [/mm] $
hab das mal kurz abgeschrieben, vllt bringt es dich aufn grünen zweig (mich schon lange nicht mehr..das freche dabei ist, wir haben diffgleichungen noch nie zuvor besprochen udn aus heiterem himmel sollen wir das jetzt lösen.........)
liebe grüsse, snufkyn
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Hallo snufkyn,
> hallo mathepower
> ich danke dir sehr für deine sehr ausführliche antwort!!!
> du hast mich enorm weitergebracht!!
>
> nur noch eine letzte frage :)
>
>
>
> ich habe eine alternativ"lösung" bzw lösungsansatz gefunden
> (papula band 2, 10.auflage, seite 508):
>
> freie gedämpfte schwingung
>
> Die Differentialgleichung einer freien gedämpften
> Schwingung lautet:
>
> mx'' + bx' + cx = 0
>
> oder - mit den Abkürzungen [mm]2\delta[/mm] = b / m und [mm]\omega^{2}[/mm]
> = c / m:
>
> x'' + [mm]2\delta[/mm] x' + [mm]\omega^{2}_{0}[/mm] x = 0
>
> Die physikalischen Grössen [mm]\delta[/mm] und [mm]\omega_{0}[/mm] werden wie
> folgt berechnet:
>
> [mm]\delta[/mm] : Dämpfungsfaktor oder Abklingkonstante
> [mm]\omega_{0}[/mm] : Eigen- oder Kennkreisfrequenz
>
> Die zugehörige charakteristische Gleichung
>
> [mm]\lambda^{2}[/mm] + [mm]2\delta \lambda[/mm] + [mm]\omega^{2}_{0}[/mm] = 0
>
> beditzt die Lösungen
>
> [mm]\lambda_{1/2}[/mm] = - [mm]\delta \pm \wurzel{\delta^{2} - \omega^{2}_{0}}[/mm]
>
> über deren ART die Diskriminante D = [mm]\delta^{2}[/mm] -
> [mm]\omega^{2}_{0}[/mm] entscheidet. Nur bei schwacher Dämpfung ist
> das mechanische System zu echten Schwingungen fähig (sog.
> Schwingungsfall). Dieser Fall tritt für D < 0, d.h. [mm]\delta[/mm]
> < [mm]\omega^{2}_{0}[/mm] ein (unser fall, siehe
> aufgabenbeschreibung!)
>
> weiter heisst es (Interpretation aus physikalischer
> Sicht):
>
> es liegt eine gedämpfte Schwingung vor. Das mechanische
> System schwingt dabei mit einer - gegenüber der
> ungedämpften schwingung - verkleinerten Kreisfrequenz. Sie
> beträgt:
>
> [mm]\omega_{d}[/mm] = [mm]\wurzel{\omega^{2}_{0} - \delta^{2}}[/mm]
>
> hab das mal kurz abgeschrieben, vllt bringt es dich aufn
> grünen zweig (mich schon lange nicht mehr..das freche dabei
> ist, wir haben diffgleichungen noch nie zuvor besprochen
> udn aus heiterem himmel sollen wir das jetzt
> lösen.........)
Die Lösungen der obigen DGL lauten daher:
[mm]x\left(t\right)=C_{1}*e^{\left(\delta+i*\omega_{d}\right)t}+C_{2}*e^{\left(\delta-i*\omega_{d}\right)t}[/mm]
mit [mm]C_{1}, \ C_{2} \in \IC[/mm]
Durch geschickte Wahl der Konstanten [mm]C_{1}, \ C_{2}[/mm] kann man dies auf die Form:
[mm]x\left(t\right)=\tilde{C_{1}}*e^{\delta t}*\cos\left(\omega_{d}t\right)+\tilde{C_{2}}*e^{\delta t}*\sin\left(\omega_{d}t\right)[/mm]
bringen.
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> liebe grüsse, snufkyn
Gruß
MathePower
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