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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:53 Sa 11.04.2009 | | Autor: | pittster |
Eine Zahlenfolge [mm] $\{x_n\}$ [/mm] konvergiert gegen den Grenzwert [mm] $x_0 \in \mathbb{R}$, [/mm] wenn es zu jedem [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ein $N = [mm] N(\epsilon) \in \mathbb{N}$ [/mm] gibt, so daß für alle $n [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] mit n > N die Abschätzung $| [mm] x_n [/mm] - [mm] x_0 [/mm] | < [mm] \epsilon$ [/mm] erfüllt ist. (Stefan Hildebrandt, Analysis I, S. 44)
Leider habe ich einige Probleme, diese Definition zu verstehen. Was ist [mm] $N(\epsilon)$? [/mm] Mir ist nicht klar, was N = N(epsilon) einen einfluss auf den Wert von $N [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] haben soll.
Danke schonmal im Vorraus für eine Erklärung.
lg und frohe Ostern,
Dennis
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Hallo Dennis,
> Eine Zahlenfolge [mm]\{x_n\}[/mm] konvergiert gegen den Grenzwert
> [mm]x_0 \in \mathbb{R}[/mm], wenn es zu jedem [mm]\epsilon > 0[/mm] ein [mm]N = N(\epsilon) \in \mathbb{N}[/mm]
> gibt, so daß für alle [mm]n \in \mathbb{N}[/mm] mit n > N die
> Abschätzung [mm]| x_n - x_0 | < \epsilon[/mm] erfüllt ist. (Stefan
> Hildebrandt, Analysis I, S. 44)
>
> Leider habe ich einige Probleme, diese Definition zu
> verstehen. Was ist [mm]N(\epsilon)[/mm]? Mir ist nicht klar, was N =
> N(epsilon) einen einfluss auf den Wert von [mm]N \in \mathbb{N}[/mm]
> haben soll.
Das [mm] $N(\varepsilon)$ [/mm] bezeichnet den Index, ab dem alle weiteren Folgenglieder innerhalb des [mm] $\varepsilon$-Schlauches [/mm] oder [mm] $\varepsilon$-Streifens [/mm] um den Grenzwert liegen.
Soll heißen, es gibt irgendwo auf der x-Achse eine Stelle [mm] $N(\varepsilon)$, [/mm] so dass [mm] $|a_n-a|<\varepsilon$ [/mm] ist für alle weiteren Folgenglieder, also für [mm] $a_{N(\varepsilon)}, a_{N(\varepsilon)+1}, a_{N(\varepsilon)+2}, [/mm] ...$
Das hatte ich dir aber auch schon hierEingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
erklärt.
Vllt. mal ein einfaches Bsp.;
Nehmen wir die Folge $\left(\frac{1}{n}\right)_{n\in\IN}$.
Die strebt ja für $n\to\infty$ gegen 0
Dann geben wir uns ein beliebiges $\varepsilon>0$ vor und müssen (in einer Nebenrechnung) den Betrag $|a_n-a|$ abschätzen, das ist in diesem Falle
$\left|\frac{1}{n}-0\right|=\left|\frac{1}{n}\right|=\frac{1}{n}$
Und das soll nun $<\varepsilon$ werden
Also $\frac{1}{n}\overset{!}{<}\varepsilon$
$\Rightarrow n>\frac{1}{\varepsilon}$
Wähle also das $N(\varepsilon)>\frac{1}{\varepsilon}$, etwa als nächstgrößere natürliche Zahl, also $N(\varepsilon):=\left[\frac{1}{\varepsilon}\right]+1$
Dann gilt für alle $n\ge N(\varepsilon): \ |a_n-a|=\left|\frac{1}{n}-0\right|=..=\frac{1}{n}\le\frac{1}{N(\varepsilon)}=\frac{1}{\left[\frac{1}{\varepsilon}\right]+1}<\frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}}=\varepsilon$
Mit dem so konstruierten $N(\varepsilon)$ hast du also einen Folgenindex (Stelle auf der x-Achse) gefunden, ab dem alle weiteren Folgenglieder näher am GW liegen als deine vorgegebene Abweichung $\varepsilon$, in Zeichen, $|a_n-a|<\varepsilon$
Gib dir mal verschiedene $\varepsilon$ vor, nimm mal $\varepsilon=\frac{1}{100}$ und $\varepsilon}=\frac{1}{1000}$ und berechne jeweils das zugeh. $N(\varepsilon)$
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> Danke schonmal im Vorraus für eine Erklärung.
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> lg und frohe Ostern,
> Dennis
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Dir auch frohe Ostern
Gruß
schachuzipus
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Bitte entschuldige den Doppelpost. Der Unterschied zwischen der Erklärung aus dem Internet und der aus dem eben genannten Buch hat mich ein wenig verwirrt und ich dachte, es handelt sich dabei um etwas Anderes. Aber jetzt habe ich es Verstanden.
Der von dir genannte [mm] "$\epsilon$-Streifen [/mm] wird in meinem Analysis-Lehrbuch überigens als [mm] $\epsilon$-Umgebung [/mm] bezeichnet:
[mm] $B_\epsilon(x_0) [/mm] := [mm] \{x \in \mathbb{R} : | x - x_0\red{|} < \epsilon \} [/mm] = [mm] (x_0-\epsilon, x_0 [/mm] + [mm] \epsilon)$
[/mm]
Zumindest kann ich dazu keinen Unterschied erkennen (Irrtum?)
Nein, das ist dasselbe, den GW [mm] $x_0$ [/mm] kannst du dir auf der y-Achse einzeichnen und dann das offene Intervall (mit Mittelpunkt [mm] $x_0$) $(x_0-\varepsilon, x_0+\varepsilon)$ [/mm] dazu einzeichnen (auch auf der y-Achse)
Dieses Intervall um [mm] $x_0$ [/mm] der Breite [mm] $2\varepsilon$ [/mm] (siehe anderer post) denke dir als Streifen oder Band in Richtung der x-Achse gezogen vor (wie in der Graphik)
Dann bedeutet Konvergenz, dass du zu beliebig schmalem Streifen (beliebig kleiner [mm] $\varepsilon$-Umgebung) [/mm] um den GW einen Index [mm] $N(\varepsilon)$ [/mm] (der i.d.R. von [mm] $\varepsilon$ [/mm] abhängen wird) auf der x-Achse finden kannst, so dass alle Folgenglieder ab dem [mm] $a_{N(\varepsilon)}$ [/mm] halt innerhalb dieser [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] um [mm] $x_0$ [/mm] liegen.
Es kann nicht sein, dass irgendein Folgenglied, zB. [mm] $a_{20000000}$ [/mm] da herausspringt.
lg, Dennis
Gruß
schachuzipus
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Hallo nochmal,
ich habe![[]](/images/popup.gif) hier eine hübsche Graphik gefunden, die diesen Index [mm] $N(\varepsilon)$ [/mm] ganz gut verdeutlicht.
In dem Bsp. ist eine Nullfolge zu sehen, um den GW 0 ist ein [mm] $\varepsilon$-Streifen [/mm] gelegt, du siehst deutlich an der Zeichnung, dass ab dem Index 6 alle weiteren Folgenglieder, also [mm] $a_6, a_7, a_8 [/mm] ...$ innerhalb dieses [mm] $\varepsilon$-Streifens [/mm] liegen.
Das [mm] $N(\varepsilon)$ [/mm] kann also in dem Bsp. als 6 gewählt werden.
Gibst du dir etwa ein kleineres [mm] $\varepsilon$ [/mm] vor, etwa nur halb so groß wie das in der Zeichnung, so ist der Streifen entsprechend schmaler, du wirst also ein "passendes" [mm] $N(\varepsilon)$, [/mm] ab dem alle weiteren Folgenglieder innerhalb des Streifens liegen, erst "weiter weg" auf der x-Achse finden.
LG
schachuzipus
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Hallo nochmal,
ich habe irgendwie einen falschen Knopf gedrückt und anstatt eine (neue) Antwort zu schreiben den Text deiner Mitteilung durch meine Antwort ersetzt ... ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Aber das kannst du dir ja zusammenreimen 
Lieben Gruß
schachuzipus
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