ÜbertragungsfunktionÜbertragungsfunktion
Das Übertragungsverhalten eines Systems kann durch eine lineare Differenzialgleichung beschrieben werden:
![$ a_nv^{(n)}+...+a_1\dot v+a_0v=b_0u+b_1\dot u+...+b_mu^{(m)} $ $ a_nv^{(n)}+...+a_1\dot v+a_0v=b_0u+b_1\dot u+...+b_mu^{(m)} $](/teximg/3/8/00444683.png)
die Laplace-transformierte Gleichung lautet:
![$ V(s)\left[a_ns^n+...+a_1s+a_0\right]=U(s)\left[b_0+b_1s+...+b_ms^m\right] $ $ V(s)\left[a_ns^n+...+a_1s+a_0\right]=U(s)\left[b_0+b_1s+...+b_ms^m\right] $](/teximg/7/7/00444677.png)
Der Quotient heißt Übertragungsfunktion G(s)
![$ G(s)=\bruch{V(s)}{U(s)}=\bruch{b_ms^m+...+b_1s+b_0}{a_ns^n+...+a_1s+a_0}=\bruch{Z(s)}{N(s)} $ $ G(s)=\bruch{V(s)}{U(s)}=\bruch{b_ms^m+...+b_1s+b_0}{a_ns^n+...+a_1s+a_0}=\bruch{Z(s)}{N(s)} $](/teximg/9/8/00524589.png)
Z(s): Zählerpolynom in s
N(s): Nennerpolynom in s
technisch realisierbar sind Systeme in denen ![$ Z(s)=m\le n=N(s) $ $ Z(s)=m\le n=N(s) $](/teximg/9/7/00444679.png)
Im Sonderfall m=n lässt sich durch Polynomdivision ein konstanter Anteil abspalten, so dass eine echt gebrochen rationale Funktion
![$ G(s)=\bruch{Z_n(s)}{N_n(s)}=\bruch{Z_{n-1}(s)}{N_n(s)}+c=G_{n-1}(s)+c $ $ G(s)=\bruch{Z_n(s)}{N_n(s)}=\bruch{Z_{n-1}(s)}{N_n(s)}+c=G_{n-1}(s)+c $](/teximg/0/8/00444680.png)
Eine wichtige Beziehung besteht zwischen der Übertragungs- und der Gewichtsfunktion ![$ g(t) $ $ g(t) $](/teximg/5/5/00128755.png)
Es ist:
![$ V(s)=U(s)\cdot{}G(s)=\mathcal{L}\{\delta(t)\}G(s)=G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\} $ $ V(s)=U(s)\cdot{}G(s)=\mathcal{L}\{\delta(t)\}G(s)=G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\} $](/teximg/2/9/00524592.png)
und daher:
![$ g(t)=\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\} $ $ g(t)=\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\} $](/teximg/2/8/00444682.png)
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