BasiswechselDer Basiswechsel
Beschreibung
gegeben sei ein Vektor eines Vektorraumes V mit der Darstellung v bzgl. der Basis A, d.h sei eine Basis, dann kann man eindeutig darstellen als Linearkombination der Basisvektoren, d.h : ![$ v=x_1\cdot{}a_1 + \ldots +x_n\cdot{}a_n $ $ v=x_1\cdot{}a_1 + \ldots +x_n\cdot{}a_n $](/teximg/2/0/00666602.png)
somit erhält die Darstellung bzgl : ![$ v=\vektor{x_1\\\vdots\\x_n} $ $ v=\vektor{x_1\\\vdots\\x_n} $](/teximg/4/0/00666604.png)
Wenn man nun eine weitere Basis gegeben hat und den Vektor gleich (identisch) lassen, aber bzgl B (eindeutig) darstellen will, dann sind also die Skalare in gesucht, so dass gilt.
Für allgemeine Basen kann man dies entweder über ein Gleichungssystem lösen - bzw. gleichbedeutend mit der Transformationsmatrix .
Für eine orthogonale Basis B kann man auch das (kanonische) Skalarprodukt benutzen.
(für eine orthonormale Basis B entfallen jeweils die Nenner der Brüche)
Dann gilt : ![$ v=\bruch{\langle x,b_1\rangle}{\langle b_1,b_1\rangle}\cdot{}b_1+\bruch{\langle x,b_2\rangle}{\langle b_2,b_2\rangle}\cdot{}b_2+...+\bruch{\langle x,b_n\rangle}{\langle b_n,b_n\rangle}\cdot{}b_n $ $ v=\bruch{\langle x,b_1\rangle}{\langle b_1,b_1\rangle}\cdot{}b_1+\bruch{\langle x,b_2\rangle}{\langle b_2,b_2\rangle}\cdot{}b_2+...+\bruch{\langle x,b_n\rangle}{\langle b_n,b_n\rangle}\cdot{}b_n $](/teximg/7/0/00666607.png)
Für eine Herleitung und als Beispiel zur Berechnung nach den "beiden" anderen Methoden siehe HIER (Matheraum)
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