Häufungspunkt

Definition Häufungspunkt (einer Folge)

Sei eine Folge reeller (bzw. komplexer) Zahlen.
Ein Punkt (bzw. ) heißt Häufungspunkt (der Folge ), wenn in jeder Umgebung von z unendlich viele Folgenglieder von liegen.

Wichtige Sätze

Satz Sei eine Folge reeller (bzw. komplexer) Zahlen und (bzw. .
z Häufungspunkt von besitzt eine gegen z konvergente Teilfolge.

Definition Häufungspunkt (einer Menge)

Für den Raum bzw.

Sie A eine Teilmenge von ( oder ).
Ein Punkt heißt Häufungspunkt von A, wenn in jeder Umgebung von x unendliche viele Elemente von A liegen.

Für metrische Räume

Sei (M,d) metrischer Raum, .
heißt Häufungspunkt von B, wenn es in jeder Umgebung von x Punkte aus B gibt, die von x verschieden sind.

Für topologische Räume

Seien X ein topologischer Raum und .
Ein Punkt heißt ein Häufungspunkt von M, wenn in jeder Umgebung von x ein von x verschiedener Punkt aus M liegt.

Wichtige Sätze

Satz Seien X ein topologischer Raum und .
Jeder Häufungspunkt von M ist ein Berührpunkt von M.

Satz Seien X ein topologischer Raum und .
Jeder Berührpunkt von M, der nicht zu M gehört, ist ein Häufungspunkt von M.