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PartiellIntegration

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PartiellIntegration

Wie lerne ich die partielle Integration?

Also ich würde prinzipiell sagen: die Erfahrung macht's.
Es ist manchmal äusserst schwer erkennbar, was die Methode der Wahl ist.
Einen Hinweis kann ich dir aber geben: Prüfe, ob die Ableitung (bis auf einen Faktor a) der (potentiell) zu substituierenden Funktion wieder auftaucht, dann ist Substitution angezeigt.

Beispiel:

$f(x)=4x\cdot{}\wurzel{x^2+1},$
das hat die Gestalt: $f(x)=a\cdot{}v'(x)\cdot{}\wurzel{v(x)}$ mit a=2
oder
$f(x)=\bruch{x}{x^2+1}$
hat die Gestalt $f(x)=\bruch{a\cdot{}v'(x)}{v(x)}$ mit $a=\bruch{1}{2}$
Klar?

Bei Funktionen, deren Ableitung/Stammfunktion identisch (bis auf einen Faktor) oder zyklisch (bis auf einen Faktor) sind, also bei der Form

$f(x)=(bx^n+cx^{n-1}+\ldots+hx+k)\cdot{}\mathrm{e}^{a\cdot{}x}$ oder
$f(x)=(bx^n+cx^{n-1}+\ldots+hx+k)\cdot{}\sin(a\cdot{}x)$ (oder cos)

ist immer partiell Integrieren angezeigt. Man setzt immer u=(...) und muss n-mal partiell integrieren, bis man am Ende ein Integral der Form
$\ldots-\integral_{}^{}{\bruch{1}{a^n}e^{ax}dx}$ erhält, das man dann leicht nochmal integrieren kann.

Im Gegensatz dazu taucht z.B bei
$f(x)=(3x+3)\cdot{}\cos(\bruch{1}{2}x^2+x)$
wieder die Ableitung der "inneren" (zu substituierenden Funktion) auf:
$f(x)=a\cdot{}v'(x)\cdot{}\cos(v(x))$ mit a=3

Auch bei
$f(x)=\bruch{3x^2+2x+1}{2x^3+2\cdot{}x^2+2x+1}$

braucht man nicht mit Partialbruchzerlegung rummachen, wenn man erkennt, dass die Ableitung des Nenners bis auf einen Faktor im Zähler steht:
$f(x)=\bruch{a\cdot{}v'(x)}{v(x)}$ mit a=0,5

Bei manchen Funktionen muss man genauer hinsehen, z.B bei
$f(x)=\bruch{\ln(2x)}{x}$
auch hier taucht die Ableitung auf:

$f(x)=\bruch{1}{x}\cdot{}\ln(2x)=v'(x)\cdot{}v(x)$

und wird am besten mit Substitution gelöst.

Ansonsten gilt: wer viel übt, hat viele Funktionen gesehen und entwickelt ein Gespür dafür.

Merke: Differenzieren ist ein Handwerk, Integrieren ist eine Kunst.

siehe Integrationsregel

Erstellt: Fr 24.03.2006 von informix

Letzte Änderung: Fr 25.05.2012 um 15:16 von Marc

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