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Transversale
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Transversale

Definition

Sei $ G $ eine Gruppe und $ U\le G $ eine Untergruppe von $ G $. $ T\subseteq G $ heißt Linkstransversale (Rechtstransversale) von $ U $ in $ G $,

falls $ T $ aus jeder Linksnebenklasse (Rechtsnebenklasse) von $ U $ in $ G $ genau ein Element enthält. Offenbar gilt:

$ G=\overset{\cdot}{\bigcup_{t\in T}}tU\mbox{ mit }t_1U\cap t_2U=\emptyset\mbox{ für }t_1,t_2\in T,\mbox{ }t_1\neq t_2 \left(\mbox{bzw. }G=\overset{\cdot}{\bigcup_{t\in T}}Ut\mbox{ mit }Ut_1\cap Ut_2=\emptyset\mbox{ für }t_1,t_2\in T,\mbox{ }t_1\neq t_2\right). $


Beispiel

Sei $ G:=(\IZ,+) $ eine Gruppe und $ U:=m\IZ=\{mz|z\in\IZ\} $ Untergruppe von $ G $ für ein $ m\in\IN $.

Dann ist $ T=\{0,1,2,3,...,m-1\} $ eine Transversale von $ U $ in $ G $.


Bemerkung

Der Begriff der Transversale wird insbesondere im Satz von Lagrange genutzt.

Man nennt die Rechts- oder Linkstransversale auch Repräsentantensystem der Rechts- bzw. Linksnebenklassen.


Literatur

isbn9783827430113 C. Karpfinger, K. Meyberg: Algebra, Springer Spektrum, 2013

Erstellt: Sa 28.03.2015 von Ladon
Letzte Änderung: Sa 28.03.2015 um 15:25 von Ladon
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