Zweidimensionale Integrale < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:33 Do 02.03.2006 | | Autor: | Sienna |
| Aufgabe | Berechnen Sie folgenden zwie dimensionale Integrale:
a) [mm] \integral_A{xe^y d \mu}[/mm] und [mm] \integral_B{xe^y d \mu}[/mm] über die beiden Dreiecke A und B, in die die Diagonale y=x das Quadrat [mm](x,y) \in[0,1] \times[0,1] [/mm] teilt
b)[mm] \integral_ \IR{(x+y)^2 e^{-(x^2+y^2)} d \mu} [/mm] Hinweis: benutzen Sie Polarkoordinaten. |
Hallo Zusammen im Matheraum,
hier habe ich eine Aufgabe und auch deren Lösung - erst einmal a)
LÖSUNG:[mm] \integral_{0}^{1}{ \integral_{0}^{x}{xe^y dy} dx}=
= \integral_{0}^{1}{x(e^x-1) dx}=
= xe^x-e^x-(x^2)/2 [/mm]
und das in den Grenzen 0 und 1 natürlich
[mm]= -1/2+1= 1/2
\Rightarrow \integral_{0}^{1}{ \integral_{1}^{x}{xe^y dy} dx}=
= \integral_{0}^{1}{x(e-e^x) dx}=
=(x^2*e)/2 - xe^x+e^x [/mm] in den Grenzen 0 bis 1
[mm]= e/2-1=(e-2)/2[/mm] Endergebnis.
Und nun meine Fragen!!!
ICh verstehe einige Dinge hier nicht und weiß nicht, wie man da drauf kommt!!!:
1.Bei der Aufgabenstellung das mit dem A und B kann ich nicht begreifen. Was hat das zu bedeuten und was möchte der Aufgabensteller mit der Angabe der Diagonalen wissen?
2) Was ist denn dieses [mm] \mu [/mm] und warum muss das da stehen?
3) Dann beim Aufstellen des Doppelintegral verstehe ich ja noch den 1. Schritt, wobei mir (was wahrscheinlich mit der Diagonalen zusammenhängt) nicht klar ist, warum da gerade diese Grenzen eingesetzt werden?
4) Ganz verwirrt mich dann aber der nachfolgenden Schritt mit dem Einzelintegral, wie kommt man denn auf dieses?
Und zu Guter letzt:
5) Gibt es vielleicht noch ähnliche Aufgaben, wie diese, die ich versuchen könnte?
Ich sage schon mal Vielen Dank und hoffe, dass sich jemand erbarmt, auch wenn Ferien sind!!! 
Viele Liebe Grüße (Sienna und) Eva
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Hallo!
Also vorweg - ich bin in diesem Thema auch nicht wirklich gut, habe mich auch schon länger nicht mehr damit beschäftigt. Aber da du die Lösungen mitgepostet hast, kann ich mal ein bisschen was dazu erklären:
> Berechnen Sie folgenden zwie dimensionale Integrale:
> a) [mm]\integral_A{xe^y d \mu}[/mm] und [mm]\integral_B{xe^y d \mu}[/mm]
> über die beiden Dreiecke A und B, in die die Diagonale y=x
> das Quadrat [mm](x,y) \in[0,1] \times[0,1][/mm] teilt
Du kennst doch sicher das Quadrat [mm] [0,1]\times[0,1]. [/mm] Das ist einfach ein Quadrat in einem kartesischen Koordinatensystem mit den Eckpunkten (0,0), (0,1), (1,1), (1,0). Nun zeichnest du in dasselbe Koordinatensystem die Funktion y=x. Wenn du diese Funktion nur zwischen (0,0) und (1,1) zeichnest, hast du genau die Diagonale des Quadrats. Und diese Diagonale teilt das Quadrat in zwei Dreiecke. Und über diese Dreiecke sollst du integrieren. Also einmal über das untere Dreieck A und einmal über das obere Dreieck B.
Aus der Schule kennst du es, dass man "in eine Richtung" integriert, also ein Integral mit zwei Grenzen. Hier berechnest du aber das Integral in zwei Richtungen, einmal in x-Richtung und einmal in y-Richtung. Deswegen hast du in der Lösung zwei Integrale stehen und jeweils zwei Grenzen, also insgesamt vier Grenzen.
Wie man sich das genau vorstellt, weiß ich auch nicht, vielleicht so, dass die Funktion, da sie ja von zwei Variablen abhängt, auch zweidimensional ist, die "Fläche" darunter dann aber keine Fläche mehr sondern ein Volumen. Und deswegen muss man auch in zwei Richtungen integrieren.
Jedenfalls ergeben sich daraus auch die Integrationsgrenzen, wie du richtig vermutet hast. Nämlich brauchst du im ersten Fall in x-Richtung eine Grenze, das sind 0 und 1, denn du möchtest ja über die "Breite" des Quadrats integrieren. Und dann brauchst du noch eine Grenze in y-Richtung, denn du möchtest ja bis zu der Diagonalen integrieren. Und diese Diagonale ist keine Konstante, sondern sie hängt von x ab, denn die Funktion der Diagonalen ist ja genau y=x. Also setzt du hier als Integrationsgrenze x ein. Damit hättest du dann schon das Integral, so wie du es in der Lösung angegeben hast:
[mm] \integral_{0}^{1}{ \integral_{0}^{x}{xe^y dy} dx}
[/mm]
Dass da einmal dy und einmal dx steht, hängt natürlich auch damit zusammen. Wie ich schon erwähnt habe, integrierst du ja über eine Fläche, und eine Fläche ist zweidimensional, also musst du einmal in x-Richtung und einmal in y-Richtung integrieren. Da du für das äußere Integral (also das erste) die Grenzen in der x-Richtung genommen hast, integrierst du das äußere Integral nach x, also steht "außen" (also hinten) dx. Beim inneren Integral integrierst du in y-Richtung, so hast du ja auch die Grenzen gewählt, also steht beim inneren Integral dy.
Dann zu der weiteren Berechnung:
= [mm] \integral_{0}^{1}{x(e^x-1) dx}
[/mm]
Hier wurde das innere Integral einfach nur berechnet. Also einfach [mm] \integral_0^x{xe^y\;dy}. [/mm] Die Funktion soll nach y integriert werden, also ist das y die "Variable" und das x einfach eine Konstante. Beim Integrieren bleibt x also einfach stehen, und die Stammfunktion von [mm] e^y [/mm] ist einfach [mm] e^y, [/mm] das ergibt dann als komplette Stammfunktion: [mm] xe^y, [/mm] und das in den Grenzen 0 bis x ergibt dann [mm] (xe^x-xe^0) [/mm] (also jeweils für das y die Grenze eingesetzt, da ja nach y integriert wird) [mm] =xe^x-x=x(e^x-1). [/mm] Soweit klar? 
Der Rest dieses Teils dürfte dann wohl klar sein.
Bei dem anderen Dreieck funktioniert das Ganze ganz genauso. In x-Richtung gehst du als Grenze wieder über die "Breite" des Quadrats, und in y-Richtung willst du dieses Mal das obere Dreieck, also den Teil oberhalb der Diagonale. Warum da jetzt 1 als untere Grenze steht, weiß ich nicht, aber evtl. kommt da das Gleiche raus. Ich hätte eigentlich gedacht, dass dort von x bis 1 integriert wird... Aber wird schon stimmen so.
Naja, und dann wird genauso wieder integriert.
So, den Rest beantworte ich mal direkt unter deine Fragen:
> b)[mm] \integral_ \IR{(x+y)^2 e^{-(x^2+y^2)} d \mu}[/mm] Hinweis:
> benutzen Sie Polarkoordinaten.
> 2) Was ist denn dieses [mm]\mu[/mm] und warum muss das da stehen?
Hätte ich beinahe selber nicht gewusst, aber jetzt fiel's mir wieder ein:
Da auch diese Funktion bei b) von zwei Variablen abhängt, brauchst du auch eigentlich zwei Integrale. Kann es sein, dass da als "Integrationsgrenze" nicht [mm] \IR [/mm] sondern [mm] \IR^2 [/mm] stehen müsste? Ansonsten ist meine Vermutung vielleicht doch nicht richtig... Also, du musst wieder in x-Richtung und in y-Richtung integrieren. Und wenn du dann deine zwei Integrale daraus machst (das Ganze also nur anders bzw. etwas genauer hinschreibst), brauchst du für jedes Integral eine Grenze. Und da schreibt man halt, wenn man nur ein Integralzeichen hat, die Grenze aber eine Fläche ist, einfach [mm] \mu, [/mm] was dann bedeutet, dass du sowohl nach x als auch nach y integrieren musst. (hoffe, das stimmt so...)
> Und zu Guter letzt:
> 5) Gibt es vielleicht noch ähnliche Aufgaben, wie diese,
> die ich versuchen könnte?
Parat habe ich im Moment leider keine Aufgaben, aber ich glaube, im Königsberger 2 steht etwas drin. Außerdem fand ich den Otto Forster 3 für dieses Thema immer recht gut, habe ihn aber leider nicht zur Hand. Evtl. findest du ![[]](/images/popup.gif) hier etwas Gescheites, musst aber evtl. suchen, da die ersten Aufgaben vielleicht etwas schwieriger und damit für den Anfang nicht so geeignet sind. Vielleicht hilft auch diese meine alte Aufgabe... oder diese hier oder diese hier (die wollte ich eigentlich zuerst angeben, evtl. guckst du dir die als erstes an...) Hier und hier findest du auch noch etliche Aufgaben, aber irgendwie sind glaube ich teilweise die Lösungen Passwort geschützt.
> Ich sage schon mal Vielen Dank und hoffe, dass sich jemand
> erbarmt, auch wenn Ferien sind!!!
Wo hattest du diese Aufgabe denn her - so mitten in den Ferien? Willst du fürs nächste Semester vorarbeiten oder wiederholst du vom letzten?
Viele Grüße und ich hoffe, die Antwort hilft dir etwas
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:55 Fr 03.03.2006 | | Autor: | Sienna |
Hallo Bastiane!
Vielen Dank für deine Hilfe und die ausführliche Erklärung,
ich habe ALLES verstanden, BIS AUF das mit der Grenze und zwar diesevon o nach x ist mir immer noch nicht klar, aber ansonsten ist mir einiges klar geworden!!!
Den Anfang finde ich noch leicht undurchsichtig, aber ich verstehe, was gemeint ist, am Ende hätte ich ja wirklich selber drauf kommen können, dass da das Integral nur ausgerechnet wird.
Die Aufgaben von dir sind aber, glaube ich, noch eine Spur komplizierter (eine große Spur!!!). Vielen Dank für die Links!!!
Ich lerne gerade für das "vorletzte" Semester und zwar Analysis 2, weil ich damals vor lauter Panik im SS04 die Vordiplomsklausur nicht mitgeschrieben habe und es nun endlich hinter mich bringen muss. Da ich aber voll raus bin, muss ich sehr viel machen ;-(
Die Aufgabe stammt aus der Mustervordiplomsklausur, d.h. so ähnlich wird die Klausur dann auch aussehen.
Also versuche ich mein bestes, um fit zu werden!!!
Sind deine Aufgaben auch aus Analysis II? Ich finde sie - vom 1.Eindruck her wesentlich komplizierter, als die meinige oben!!!
Nochmal vielen Dank, liebe Grüße Eva
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Hallo Eva!
Sorry, dass es mit einer Antwort solange gedauert hat, aber ich weiß nicht, ob ich das noch genauer erklären kann und hatte gehofft, dass sich vielleicht ein Anderer der Frage annimmt...
> ich habe ALLES verstanden, BIS AUF das mit der Grenze und
> zwar diesevon o nach x ist mir immer noch nicht klar, aber
> ansonsten ist mir einiges klar geworden!!!
Also, die untere Grenze "0" dürfte doch klar sein, oder? Und die obere Grenze ist halt in gewisser Weise diese Diagonale y=x. Das heißt, die Grenze hängt von dem x ab. Wenn x=0,1 ist, dann wird auch nur bis 0,1 integriert. Wenn x=0,2 ist, dann wird bis 0,2 integriert und so weiter. Ob man das noch mehr erklären kann (manchmal kann man Sachen ja nicht verstehen, weil es nichts zu verstehen gibt, die Sachen sind dann eben einfach so) oder sich irgendwie vorstellen kann, weiß ich nicht. Aber bei diesen Aufgaben ist das glaube ich recht oft so.
> Ich lerne gerade für das "vorletzte" Semester und zwar
> Analysis 2, weil ich damals vor lauter Panik im SS04 die
> Vordiplomsklausur nicht mitgeschrieben habe und es nun
> endlich hinter mich bringen muss. Da ich aber voll raus
> bin, muss ich sehr viel machen ;-(
Aber habt ihr denn dann damals nicht ähnliche Aufgaben gemacht? Also hier findest du noch eine Aufgabe, die wir damals machen mussten, ich weiß gar nicht mehr, ob ich das am Ende wirklich alles verstanden hatte, aber ich fand diese Aufgabe irgendwie interessant. Hier hat jemand glaube ich die gleiche Aufgabe bearbeitet, evtl. stehen da noch Sachen, die dir helfen könnten, hab's jetzt nicht alles durchgelesen...
Weiß nicht, ob das noch hilft, aber hier habe ich noch eine Aufgabe gefunden, die ich damals rechnen musste.
Und hier noch was.
Aufgaben zum Schwerpunkt sind glaube ich auch beliebt. Hier noch eine zum Schwerpunkt, und die hier hatte ich eigentlich gesucht, die war nämlich glaube ich ganz gut, jedenfalls habe ich die wohl für eine Klausur mal öfter gerechnet.
Mmh, ich könnte jetzt noch weiter suchen, aber ich fürchte, einfacher werden die Aufgaben dadurch auch nicht.
Die Aufgaben, die wir damals gerechnet haben, haben wir in Ana III gemacht, in Ana II gab's bei uns glaube ich alles nur in einer Dimension und in Ana III kam dann das Mehrdimensionale. Ich weiß nicht, wie das bei euch aufgeteilt ist, deswegen kann ich auch nicht beurteilen, ob solche schwierigen Aufgaben bei euch schon drankommen...
Viele Grüße und noch viel Erfolg beim Lernen.
Bastiane
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:40 Mo 06.03.2006 | | Autor: | Sienna |
Hallo Bastiane,
vielen DAnk für deine Antwort und das weiter Erklären, auf der Seite von Stuttgart habe ich noch einiges zu meiner Aufgabe und dem Thema gefunden, ich denke (und hoffe), dass ich es kapiert habe, das werde ich ja dann beim Weiterrechnen merken
Ich habe ja jetzt einiges an Material. Vielen Dank für deine Hilfe!!!
Liebe Grüße Eva
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