rekursiv definierte Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:23 Mi 28.10.2009 | | Autor: | JulianTa |
| Aufgabe | Sei [mm] \{a_n\}_{n \in \IN} [/mm] eine Folge mit [mm] a_0=1 [/mm] und [mm] a_{n+1}=\frac{3a_n^2+2}{4a_n}.
[/mm]
Zeigen sie durch vollständige Induktion, dass [mm] $a_n \in [/mm] [1; [mm] \sqrt{2}]$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$. [/mm] |
Hallo!
Ich habe mir gedacht, dass ich die Aufgabe aufteile. Zuerst habe ich durch Induktion gezeigt, dass alle [mm] $a_n \ge [/mm] 1$ sind. Das war nicht schwer.
Jetzt will ich natürlich noch in einem zweiten Schritt zeigen, dass alle [mm] $a_n \le \sqrt{2}$ [/mm] sind.
Der Induktionsanfang ist klar, [mm] $a_0 [/mm] = 1 < [mm] \sqrt{2}$
[/mm]
Nun will ich zeigen, dass [mm] $a_{n+1}=\frac{3a_n^2+2}{4a_n} \le \sqrt{2}$ [/mm] ist, unter der Voraussetzung, dass [mm] $a_n \le \sqrt{2}$.
[/mm]
Hier allerdings beiße ich mir schon seit gestern Mittag die Zähne aus und komme einfach nicht auf eine funktionierende Abschätzung. Kann mir jemand einen Tipp geben? Das wär sehr nett.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf einer anderen Website gestellt.
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Hallo JulianTa,
diese Aufgabe haben auch andere schon bearbeitet.
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Viel Erfolg!
reverend
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