WinkelfunktionDefinition Sinus(-funktion), Kosinus(-funktion), Tangens(-funktion)
Schule
Betrachtet man das unten stehende rechtwinklige Dreieck ABC mit dem rechten Winkel bei C (Bild1),
so gelten folgende Beziehungen:
Dabei ist die Strecke die Ankathete zum Winkel
und die Strecke die Gegenkathete zum Winkel .
Definition am Einheitskreis
Mit Hilfe des Satzes des Pythagoras gilt: , weil im Einheitskreis die Hypotenuse c = r = 1 ist.
Man kann diese Definition am rechtwinkligen Dreieck auf Winkel >90° erweitern, wenn man folgendes Bild2 betrachtet:
Durchläuft der Punkt C die Kreislinie, so kann man die zum Winkel (bei A) gehörenden Werte des Sinus und Kosinus in ein Koordinatenkreuz übertragen.
Sinusfunktion:
Kosinusfunktion:
Man erkennt, dass sowohl der Sinus als auch der Kosinus stets Werte ergeben.
In den Zeichnungen sind die Winkel im Bogenmaß aufgetragen;
dabei gelten folgende Entsprechungen mit = Kreiszahl = 3.1415926...:
Man erkennt weiter, dass sich nach einer Umdrehung (gegen den Uhrzeigersinn) die Werte für den Sinus und den Kosinus wiederholen: beide Funktionen sind periodisch mit der Periodenlänge .
Daher kann man die Sinus- und die Kosinusfunktion auch für Werte > 90° sinnvoll definieren.
Natürlich kann man den Punkt C auch mit dem Uhrzeiger auf dem Kreis wandern lassen:
dann bezeichnet man einfach die entstehenden Winkel als negative Größen.
Damit ist also festgestellt, dass der Definitionsbereich beider Funktionen ganz ist.
weitere Eigenschaften der Winkelfunktionen
Universität
Definition/Darstellung als Potenzreihe
Für (insbesondere für ) ist definiert (Taylorreihe des Sinus):
![$ \sin x:=\summe_{k=0}^{\infty} (-1)^k \bruch{x^{2k+1}}{(2k+1)!} $ $ \sin x:=\summe_{k=0}^{\infty} (-1)^k \bruch{x^{2k+1}}{(2k+1)!} $](/teximg/1/2/00388021.png)
Für (insbesondere für ) ist definiert (Taylorreihe des Kosinus):
![$ \cos x:=\summe_{k=0}^{\infty} (-1)^k \bruch{x^{2k}}{(2k)!} $ $ \cos x:=\summe_{k=0}^{\infty} (-1)^k \bruch{x^{2k}}{(2k)!} $](/teximg/2/2/00388022.png)
Weitere Beziehungen
![$ \sin(x)=\bruch{1}{2j}\cdot{}\big(e^{jx}-e^{-jx}\big) $ $ \sin(x)=\bruch{1}{2j}\cdot{}\big(e^{jx}-e^{-jx}\big) $](/teximg/7/0/01407607.png)
![$ \cos(x)=\bruch{1}{2}\cdot{}\big(e^{jx}+e^{-jx}\big) $ $ \cos(x)=\bruch{1}{2}\cdot{}\big(e^{jx}+e^{-jx}\big) $](/teximg/8/0/01407608.png)
Bild1 Rechtwinkliges Dreieck aus Wikipedia
weitere Überlegungen zur Tangensfunktion
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