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Tangens

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Tangens

Definition Tangens und Tangensfunktion

Schule

Definition am rechtwinkligen Dreieck

Betrachtet man das unten stehende rechtwinklige Dreieck ABC mit dem rechten Winkel bei C (Bild1),
so gelten folgende Beziehungen:

{picture file=img/wiki_up//RechtwinkligesDreieck.jpg}

Dabei nennt man die Strecke $\overline{AC}$ die Ankathete zum Winkel $\alpha$
und die Strecke $\overline{BC}$ die Gegenkathete zum Winkel $\alpha$ .

$\sin \alpha = \bruch{\mbox{Gegenkathete}}{\mbox{Hypotenuse}}$ ; $\cos \alpha = \bruch{\mbox{Ankathete}}{\mbox{Hypotenuse}}$ ; $\tan \alpha = \bruch{\mbox{Gegenkathete}}{\mbox{Ankathete}} = \bruch{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

{picture file=img/wiki_up//Einheitskreis.png}

Den tan-Wert liest man ab, indem man am Einheitskreis den Winkel abträgt und diese schräge Strecke verlängerst bis zu der vertikalen Gerade bei x = 1.
Die Länge dieser vertikalen Strecke (grüne Strecke) ist der tan-Wert.

Der tan-Wert ist einheitenfrei, d.h. ohne Einheit (so wie sin und cos auch).
Lediglich der Winkel $\alpha$ wird i.a. im Gradmaß und x im Bogenmaß angegeben.

weitere Überlegungen zu Sinus- und Kosinusfunktion

Aus der Definition des Tangens ergibt sich unmittelbar die zugehörige Funktion, bei der x im Bogenmaß angegeben wird:

$\tan(x) = \bruch{\sin (x)}{\cos (x)}$

{picture file=img/wiki_up//tangens.jpg}

Ebenso ergeben sich die weiteren Eigenschaften der Tangensfunktion:

die Tangensfunktion ist an den Nullstellen der Kosinusfunktion nicht definiert:
- Definitionsbereich: $\IR \setminus \{(2k-1)\cdot{}\bruch{\pi}{2}| k \in \IZ \}$ .
Wertebereich: alle reellen Zahlen $\IR$
die Tangensfunktion ist periodisch mit der Periodenlänge $\pi$ .
die Tangensfunktion ist über den gesamten Definitionsbereich betrachtet nicht symmetrisch,
- wohl aber, wenn man sich auf ein Intervall zwischen zwei Unstetigkeitsstellen einschränkt,
- dann ist sie punktsymmetrisch zu ihrer Nullstelle, insbesondere über dem Intervall $[-\bruch{\pi}{2};\bruch{\pi}{2}]$ symmetrisch zum Ursprung.

Ableitung der Tangensfunktion
ergibt sich aus der Definition $f(x) = \tan(x) = \bruch{\sin (x)}{\cos (x)}$ mit Hilfe der Quotientenregel:

$f'(x) = \left(\bruch{\cos (x)}{\sin(x)}\right)'= \bruch{\cos (x)\cdot{}\cos (x)-(-\sin(x))\cdot{}\sin(x)}{\cos^2 (x)} = 1 + \tan^2(x) = \bruch{1}{\cos^2 (x)}$

Stammfunktion der Tangensfunktion

$\integral {\tan(x) dx} = - \ln(\cos(x)) + C$

Universität

Definition/Darstellung als Potenzreihe

Für $x\in\IC$ (insbesondere für $x\in\IR$ ) ist definiert (Taylorreihe des Tangens):
$\tan(x)=x+\frac{1}{3} x^3+\frac{2}{15}x^5+\frac{17}{315}x^7+\cdots$

Bild1 Rechtwinkliges Dreieck aus Wikipedia
weitere Überlegungen zu Sinus- und Kosinusfunktion

Erstellt: Mo 17.01.2005 von informix

Letzte Änderung: Sa 27.01.2007 um 17:36 von Marc

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