Gruppe

Definition Gruppe

Eine Menge zusammen mit einer Verknüpfung "" heißt Gruppe , wenn gilt:

G1) Für alle ist ("Assoziativität")

G2) Es existiert ein , so dass für alle gilt: bzw. . ("Neutrales Element")
(Statt schreibt man bei additiver Schreibweise der Gruppe kurz: .)

G3) Für alle existiert ein , so dass bzw. . ("Inverses Element")
(Statt schreibt man bei additiver Schreibweise der Gruppe kurz: .)

Eine Gruppe heißt abelsch oder kommutative Gruppe, wenn zusätzlich das Kommutativgesetz gilt:

G4) Für alle ist .

Dabei sei angemerkt: Es ist und man schreibt für

Bemerkungen:
(1) Ohne die in der Anmerkung erwähnte Notation würde man etwa das Assoziativitätsgesetz schreiben als

(2) In einer Gruppe gilt das Assoziativgesetz auch für je endlich viele Elemente. Man nennt dies auch das verallgemeinerte Assoziativgesetz.

In multiplikativer Schreibweise lauten diese vier Bedingungen:

Gruppe, wenn:
G1) Für alle ist ("Assoziativität")
G2) Es existiert ein , so dass für alle gilt: bzw. . ("Neutrales Element")
(Statt schreibt man bei multiplikativer Schreibweise der Gruppe kurz: .)
G3) Für alle existiert ein , so dass bzw. . ("Inverses Element")
Statt schreibt man bei multiplikativer Schreibweise der Gruppe kurz:
kommutative Gruppe: G4) Für alle ist .

Definition aus dem Meyberg

Ein Paar heißt eine Gruppe, wenn gilt:

ist eine Halbgruppe,

in gibt es ein linksneutrales Element ,

zu jedem gibt es ein mit . (Existenz linksinverser Elemente)

beinhaltet, dass eine nichtleere Menge ist mit assoziativer Multiplikation.

Eine Gruppe heißt abelsch oder kommutativ, wenn gilt für alle .

Bemerkungen

1) Mit diesem ("schwachen") Axiomensystem kann man sehr schnell entscheiden, ob eine gegebene Halbgruppe eine Gruppe ist oder nicht.

2) Die endlichen Permutationsgruppen bilden den Ursprung einer allgemeinen Gruppentheorie. E. Galois (1811-1832) erkannte als erster die Bedeutung der Permutationsgruppen für die Bedeutung der Permuationsgruppen für die Theorie algebraischer Gleichungen und hat damit wesentlich das Interesse an diesen Gruppen belebt. Der heute vorliegende (abstrakte) Gruppenbegriff geht auf A. Cayley (1821-1895) zurück. Bis in neuerer Zeit wurden ständig neue Anwendungsmöglichkeiten der Gruppentheorie in Geometrie, Analysis, Topologie entdeckt. Gruppen spielen auch eine wichtige Rolle in der Kristallographie, Quantenmechanik und anderen theoretischen Naturwissenschaften.

Beispiele.

a) , , , sind (additive) abelsche Gruppen.

b) , , , sind (multiplikative) abelsche Gruppen.

c) mit ist eine Gruppe.

d) Für jede natürliche Zahl ist , die Menge der Restklassen modulo , eine abelsche Gruppe der Ordnung . Es ist

und ist erklärt durch

.

Das neutrale Element ist und ist das Inverse (bwz. Addition) von . Man berechnet , indem man von den bei Division durch enstehenden Rest ermittelt; dann ist

.

(Man will doch der Summe ansehen, welches der Elemente aus sie darstellt.)

Man beachte ferner, dass aus der Definition mit leichter Induktion

 für alle

folgt.

e) Es sei

.

Als Produkt wird das Matrizenprodukt genommen; dann ist eine abelsche Gruppe.

f) Eine große Klasse von Beispielen erhält man aus folgendem Ergebnis:

Ist eine Halbgruppe mit neutralem Element und die Menge der invertierbaren Elemente aus , dann ist eine Gruppe.

Als triviale Anwendungen hiervon erhalten wir die Beispiele in b) aus den Halbgruppen , , und . Weitere Anwendungen werden in g), h) und i) angegeben.

g) Für ist

.

Die Gruppe heißt prime Restklassengruppe modulo . Die Ordnung wird mit bezeichnet. heißt die Eulersche -Funktion. Es ist gleich der Anzahl der zu teilerfremden ganzen Zahlen mit .

h) Die Menge aller -Matrizen über einem Körper ist zusammen mit der Matrizenmultiplikation eine Halbgruppe mit der Einheitsmatrix als neutralem Element. Die invertierbaren Elemente in dieser Halbgruppe sind genau die Matrizen mit von Null verschiedener Determinante, d.h.

.

i) symmetrische Gruppe

j) Es sind vielfach gewisse Teilmengen der symmetrischen Gruppe von , die besonders ausgezeichnet sind. Ist auf eine algebraische Struktur erklärt, so betrachtet man die Homomorphismen aus , die Automorphismen. Ist ein topologischer Raum, dann sind die topologischen Abbildungen von ( und stetig) von besonderem Interesse. Betreibt man in Geometrie, dann sind es die Translationen, Rotationen, Spiegelungen oder allgemeiner die projektiven bzw. affinen Abbildungen aus , die studiert werden. In allen diesen erwähnten Fällen zeigt man, dass die betrachtete Teilmenge von zusammen mit der gegebenen Multiplikation aus Gruppen sind. Die Struktur solcher Gruppen gibt Einblick in die jeweilige Struktur auf (und umgekehrt, natürlich).

k) Endliche Gruppen (mit nicht zu hoher Ordnung) übersieht man am besten, wenn sämtliche Produkte aufgeführt sind, wenn also die Verknüpfungstafel angegeben ist. In der Verknüpfungstafel einer Gruppe , Gruppentafel von genannt, wählen wir stets und können damit auf die Ränder verzichten, denn in der ersten Zeile stehen dann die Elemente und in der ersten Spalte stehen .

Die Verknüfungstafel einer endlichen Halbgruppe ist genau dann eine Gruppentafel, wenn in jeder Zeile und jeder Spalte der Tafel jedes Element von höchstens einmal vorkommt.

Wenn wir aus gegebenen Informationen einige Plätze in der Gruppentafel auffüllen können, wissen wir, dass diese Elemente nicht noch einmal in derselben Zeile oder Spalte vorkommen können. Damit sind die Möglichkeiten zum Auffüllen der freien Plätze eingeschränkt.

l) Zur Illustration von k): Es sei eine Gruppe mit neutralem Element . Von der Gruppentafel kann man die erste Zeile und erste Spalte sofort hinschreiben:

An die mit gekennzeichnet Stelle muss gesetzt werden; denn setzen wir dorthin , dann muss darunter eingetragen werden und wir erhalten zweimal in der letzten Zeile. Nun liegen aber nach k) die anderen Stellen ebenfalls fest. Auf gibt es daher höchstens eine Gruppenstruktur:

Man überzeugt sich leicht, dass dieses auch wirklich eine Gruppentafel ist.

m) Kleinsche Vierergruppe

n) Quaternionengruppe

Quelle: isbn3446130799