symmetrische Gruppe

Definition symmetrische Gruppe

In der Halbgruppe aller Abbildungen einer Menge in sich (mit der Komposition von Abbildungen als Verknürpfung, , ist neutrales Element und die bijektiven Abbildungen, also die Permutationen von , sind genau die invertierbaren Elemente in . Also ist

zusammen mit der Komposition von Abbildungen eine Gruppe.

Sie heißt die Gruppe der Permutationen von oder die symmetrische Gruppe von .

Für den wichtigen Spezialfall setzen wir

.

Die Elemente von heißen Permutationen __vom Grad , sie werden häufig in der Form angegeben. Schreibt man in dieser Form, dann erhält man für das Produkt . Man fängt also die Auswertung beim rechten Faktor an, so wie es sich für ein Produkt von Abbildungen auch gehört. Beispiel . Man geht nach dem Schema vor: , , , etc. (" wird auf die abgebildet, dann bleibt fest, insgesamt auf ; wird auf abgebildet, dann auf , insgesamt auf , etc.") Das Inverse von ist die Abbildung , d.h. wir vertauschen in die Zeilen, erhalten und bringen dies in die richtige Reihenfolge, so dass wir in der oberen Zeile die natürliche Anordnung haben. Das Ergebnis ist . Beispiel . Es gilt: . __Beweis (Induktion): ist klar. Die Zahl kann in der zweiten Zeile einer Permutation aus an verschiedenen Stellen vorkommen, nämlich unter oder . Für jede dieser Möglichkeiten können die restlichen Zahlen auf Stellen verteilt werden. Dafür gibt es nach Induktionsvoraussetzung Möglichkeiten. Insgesamt haben wir daher Möglichkeiten, die Zahlen in verschiedene Reihenfolgen zu bringen.

Fortsetzung folgt später...

Quelle: isbn3446130799