Vorhilfe Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
	Hallo Gast! [ einloggen \| registrieren ]
	Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum

Forenbaum

Englisch

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation

Startseite...
Neuerdings beta neu
Forum...
vorwissen
	Einstieg

	Index aller Artikel

	Hilfe / Dokumentation
	Richtlinien
	Textgestaltung
vorkurse...
Werkzeuge...
Nachhilfevermittlung beta...
Online-Spiele beta
Suchen
Verein...
Impressum

Das Projekt

Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.

Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.

Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.

Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".

Partnerseiten

Weitere Fächer:

Vorhilfe.de

FunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme

Winkelfunktion

Mach mit! und verbessere/erweitere diesen Artikel!

Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren

Winkelfunktion

(Weitergeleitet von Sinus)

Definition Sinus(-funktion), Kosinus(-funktion), Tangens(-funktion)

Schule

Definition am rechtwinkligen Dreieck

Betrachtet man das unten stehende rechtwinklige Dreieck ABC mit dem rechten Winkel bei C (Bild1),
so gelten folgende Beziehungen:

$\sin \alpha = \bruch{\mbox{Gegenkathete}}{\mbox{Hypotenuse}}$ ; $\cos \alpha = \bruch{\mbox{Ankathete}}{\mbox{Hypotenuse}}$ ; $\tan \alpha = \bruch{\mbox{Gegenkathete}}{\mbox{Ankathete}} = \bruch{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

Dabei ist die Strecke $\overline{AC}$ die Ankathete zum Winkel $\alpha$
und die Strecke $\overline{BC}$ die Gegenkathete zum Winkel $\alpha$ .

Definition am Einheitskreis

Mit Hilfe des Satzes des Pythagoras gilt: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ , weil im Einheitskreis die Hypotenuse c = r = 1 ist.

Man kann diese Definition am rechtwinkligen Dreieck auf Winkel >90° erweitern, wenn man folgendes Bild2 betrachtet:

Durchläuft der Punkt C die Kreislinie, so kann man die zum Winkel $\alpha$ (bei A) gehörenden Werte des Sinus $\alpha$ und Kosinus $\alpha$ in ein Koordinatenkreuz übertragen.

Sinusfunktion:

Kosinusfunktion:

Man erkennt, dass sowohl der Sinus als auch der Kosinus stets Werte $|y| \le 1$ ergeben.
In den Zeichnungen sind die Winkel im Bogenmaß aufgetragen;
dabei gelten folgende Entsprechungen mit $\pi$ = Kreiszahl = 3.1415926...:

$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c}\alpha \text{ im Gradmaß}&0°&30°&45°&60°&90°&180°&270°&360°\\\hline \text{b im Bogenmaß} &0& \bruch{\pi}{6}&\bruch{\pi}{4}&\bruch{\pi}{3}&\bruch{\pi}{2}&\pi&\bruch{3\pi}{2}&2\pi\\\hline\hline \sin \alpha &0& \bruch{1}{2}&\bruch{1}{2}\sqrt{2}&\bruch{1}{2}\sqrt{3}&\bruch{1}{2}\sqrt{4}=1&0&-1&0\\\hline \cos \alpha & \bruch{1}{2}\sqrt{4}=1&\bruch{1}{2}\sqrt{3}&\bruch{1}{2}\sqrt{2}&\bruch{1}{2}&0&-1&0&1\end{array}$

Man erkennt weiter, dass sich nach einer Umdrehung (gegen den Uhrzeigersinn) die Werte für den Sinus und den Kosinus wiederholen: beide Funktionen sind periodisch mit der Periodenlänge $2\cdot{}\pi$ .
Daher kann man die Sinus- und die Kosinusfunktion auch für Werte > 90° sinnvoll definieren.

Natürlich kann man den Punkt C auch mit dem Uhrzeiger auf dem Kreis wandern lassen:
dann bezeichnet man einfach die entstehenden Winkel als negative Größen.
Damit ist also festgestellt, dass der Definitionsbereich beider Funktionen ganz $\IR$ ist.