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Hurwitzkriterium

Die Stabilität eines Systems kann unter bestimmten Voraussetzungen mit dem Hurwitzpolynom ermittelt werden.


Hurwitzpolynom:

Unter dem Hurwitzpolynom versteht man das Nennerpolynom der Übertragungsfunktion.

Um die Stabilität zu gewährleisten, müssen in dem Polynom folgende Eigenschaften gegeben sein:


  • alle Koeffizienten sind von Null verschieden: $ a_n\not=0 $
  • alle Koeffizienten $ a_n $ haben positive Vorzeichen
  • alle Hurwitz-Determinanten sind größer Null $ H_i>0 $

Hurwitzpolynom allg.: $ P(s)=a_0+a_1 s+a_2 s^2+.....+a_{n-1} s^{n-1}+a_n s^n $


Beispiel:

$ G_0(s)=\bruch{K_0}{s}\cdot{}\bruch{1}{1+T_1s}\cdot{}\bruch{1}{1+T_2s}=\bruch{K_0}{s+(T_1+T_2)s^2+T_1T_2s^3} $

$ G_W(s)=\bruch{Y(s)}{W(s)}=\bruch{G_0}{1+G_0} $

$ G_W(s)=\bruch{K_0}{K_0+s+(T_1+T_2)s^2+T_1T_2s^3} $


$ P(s)=K_0+s+(T_1+T_2)s^2+T_1T_2s^3 $


für die Koeffizienten folgt

$ a_0=K_0 $
$ a_1=1 $
$ a_2=T_1+T_2 $
$ a_3=T_1\cdot{}T_2 $


Annahme:   $ 0<K_0 $

$ H_1=K_0 $
$ H_2=(a_1a_2-a_0a_3)=1\cdot{}(T_1+T_2)-K_0\cdot{}T_1T_2>0\quad \gdw\quad K_0<\bruch{T_1+T_2}{T_1T_2} $

$ \Rightarrow\ 0<K_0<\bruch{T_1+T_2}{T_1T_2} $


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Erstellt: Do 02.11.2006 von Herby
Letzte Änderung: Do 12.11.2009 um 14:15 von Herby
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