www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen
   Einstieg
   
   Index aller Artikel
   
   Hilfe / Dokumentation
   Richtlinien
   Textgestaltung
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
trigonometrische_Funktion
Mach mit! und verbessere/erweitere diesen Artikel!
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren

trigonometrische Funktion

Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen


$ \sin(x) $; $ \cos(x) $; $ \tan(x) $


Sinusfunktion:


Bild:sinus.jpg


Kosinusfunktion:


Bild:cosinus.jpg


Schule

Aus der Definition der beiden Funktionen am Einheitskreis liest man ab, dass

  • der Wertebereich beider Funktionen $ \IW = [-1;+1] $ ist;
  • die Sinusfunktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist: $ \sin(-x) = -\sin (x) $;
  • die Kosinusfunktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist: $ \cos(-x) = \cos (x) $;
  • beide Funktionen periodisch sind mit einer Periodenlänge von $ 2\cdot{}\pi $:
    • $ \sin (x + k \cdot{} 2\cdot{}\pi) = \sin (x) $ für $ k \in \IZ $
    • $ \cos (x + k \cdot{} 2\cdot{}\pi) = \cos (x) $ für $ k \in \IZ $
  • sich folgende spezielle Funktionswerte als sehr nützlich erweisen:

$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c}\alpha \text{ im Gradmaß}&0°&30°&45°&60°&90°&180°&270°&360°\\\hline \text{b im Bogenmaß} &0& \bruch{\pi}{6}&\bruch{\pi}{4}&\bruch{\pi}{3}&\bruch{\pi}{2}&\pi&\bruch{3\pi}{2}&2\pi\\\hline\hline \sin \alpha &0& \bruch{1}{2}&\bruch{1}{2}\sqrt{2}&\bruch{1}{2}\sqrt{3}&\bruch{1}{2}\sqrt{4}=1&0&-1&0\\\hline \cos \alpha & \bruch{1}{2}\sqrt{4}=1&\bruch{1}{2}\sqrt{3}&\bruch{1}{2}\sqrt{2}&\bruch{1}{2}&0&-1&0&1\end{array} $

Dabei gilt für die Umrechnung von Gradmaß ins Bogenmaß: $ \bruch{\alpha}{180°} = \bruch{b}{\pi} $

Ableitung der Sinus- und Kosinusfunktion


Bild:sinus_cosinus.jpg

Vergleicht man die beiden Graphen, so erkennt man, dass die Kosinusfunktion
exakt den Steigungsverlauf der Sinusfunktion widerspiegelt:
An den Extremstellen von $ \sin x $ hat $ \cos x $ die Nullstellen,
die Nullstellen von $ \sin x $ sind zugleich auch ihre Wendepunkte, dort erreicht $ \cos x $ seine Extremwerte.
Analog:
An den Extremstellen von $ \cos x $ hat $ \sin x $ die Nullstellen,
die Nullstellen von $ \cos x $ sind zugleich auch ihre Wendepunkte, dort erreicht $ \sin x $ seine Extremwerte.
Es gilt offenbar:

$ f(x) = \sin (x) \Rightarrow f'(x) = \cos (x) $


$ g(x) = \cos (x) \Rightarrow g'(x) = -\sin (x) $

(Beweis mit Hilfe der Additionstheoreme und dem Grenzwert der Sekantensteigungen)

Die Ableitung der allgemeinen Sinus- und Kosinusfunktion erhält man mit der Kettenregel:

$ f(x) = a \sin (c\cdot{}x) \Rightarrow f'(x) = a\cdot{}c\cdot{}\cos(c\cdot{}x) $


$ g(x) = a \cos (c\cdot{}x) \Rightarrow g'(x) = -a\cdot{}c\cdot{}\sin(c\cdot{}x) $

Stammfunktion der Sinus- und Kosinusfunktion


$ \integral {\sin (x) dx} = - \cos (x) + C $


$ \integral {\cos (x) dx} = \sin (x)  + C $


Bemerkungen.

siehe auch: Additionstheorem


Beispiele.


Beweis.


Universität


Bemerkungen.


Beispiele.


Beweis.



siehe auch: [link]Formelsammlung

siehe auch: Tangensfunktion

Erstellt: Mo 17.01.2005 von informix
Letzte Änderung: Fr 26.01.2007 um 23:10 von informix
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren • Titel ändern • Artikel löschen • Quelltext

^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]